Главная  Нелинейные системы управления 

[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [ 27 ] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166]

Дискретное преобразование Лапласа и его основные свойства. Решетчатой функцией называется функция, значения которой изменяются только при целых значениях аргумента п=0, 1, 2, ... (рис. 8.12, б). Будем обозначать решетчатую функцию символом / In] и предполагать, что решетчатая функция тождественно равна нулю при отрицательных значениях аргумента. Рассмотрим ряд

/=-*(7)». J е-?«/[п1.

Данное соотношение устанавливает соответствие между решетчатой функцией / tnl, называемой оригиналом, и функцией комплексного переменного F* (q), называемой изображением решетчатой функции f[n]. Это соответствие будем записывать в виде

F*{q) =D{f[n]}.

Преобразование решетчатых функций, определяемое данным соотношением, назовем дискретным преобразованием Лапласа.

Рассмотрим основные свойства дискретного преобразования Лапласа.

1. Теорема линейности

£>( i Ол-Мп] = I: avD{/vN}=- % aFl(q),

lv= 1 v= 1 V=»I

Fl{q)=D{f[n\}, flv-const.

2. Теорема сдвига

О (/[n + k\} = eft \f* (q) ef [«1

D{f{n-k)}=e-"Fq).

3. Теорема смещения

D{e±««/In]}=f*(<7±a).

4. Теорема о дифференцируемости по параметру

D {df [п, ШЦ = dF* (<7. k)/dk.

5. Теорема умножения решетчатой функции на п

D{nf[n]}={~-lfdF*(q)/dq.



6. Теорема свертывания

2 /, \п -ml h -2 fi lm] h \n-m] =

.m=0 J m = 0

7. Переменные значения решетчатой функции lim j\n\ = lim (e -1) F*(c?);

lim/[nl = lim f* (g).

Воздействие импульсного элемента на приведенную линейную часть определяется значениями х (/) в моменты съема 1 = п. Это значение может быть определено из уравнения сумматора (рис. 8.12, а)

х[п1 = Хо(«]-(8.20)

где X (п) - решетчатая функция, совпадающая сх (/) в моменты 7= п.

Применив к соотношению (8.20) дискретное преобразование Лапласа, получим уравнение замыкания системы:

Х*((7)=ХИ9)-Х:ь,х((7), • (8.21а)

X*(<7)-D{x[nl} = 2 е-"[«1; (8.216)

D { } - символ дискретного преобразования Лапласа; q = = sT.

Найдем связь изображений входного X* (q) и выходного Хбых {я) сигналов разомкнутой импульсной системы.

Реакция hy линейной части системы на импульс, имеющий относительную длительность 7о = у/Т, амплитуду, равную 1, и действующий в момент t = т, определяется соотношением

hy (t-m) =

h(t-m) при rnt m-\-yQ\

h(f-m)~-h{T-m-yo) при /л!-f Vo << со.

(8.22)

где h (t) вычисляется no формуле, аналогичной (8.17), если предварительно в передаточной функции W (s) заменить s на q/T.



Так как на линейную часть системы действует последовательность импульсов амплитудых (пг) в моменты t= т = 0,\,2, .... то в соответствии с принципом наложения реакция линейной части будет равна сумме реакций от каждого импульса:

W(0= i х(т)Л(Т~т). (8.23)

m= О

Здесь п<Г</г+ 1.

Для дискретных моментов времени

вых(")= i x(m)hy{n--m). (8.24)

Заменяя формально величины, входящие в соотношение (8.24), решетчатыми функциями, значения которых совпадают с ними в дискретных точках, и применяя затем к обоим частям дискретное преобразование Лапласа и теорему свертывания, получим

D {Хвьгх ["!} = ( S xlm]hy[n-m] =

= D{x[n]}-D{hy[n]}. (8.25а)

Принимая во внимание обозначения (8.21 б) и обозначая

D{hy[n]}W*(g), (8.256)

запишем соотношение (8.25а) в виде

WLx(<7)=l*(7)*(7)- (8.26)

соотношение (8.26) определяет связь между изображениями решетчатых функций, соответствующих входной и выходной переменным разомкнутой импульсной системы.

Величина W* (q) называется передаточной функцией разомкнутой илтульсной системы. Согласно (8.256) и (8.216), она равна

W*(q)= hy[n]e-i". (8.27)

Если принять, что обычно hy (0) = ft (0) = О, то

Ц7*(<7)= 2 ft[n]e-«. (8.28)



[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [ 27 ] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166]

0.0012