Главная Нелинейные системы управления [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [ 40 ] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] X {f) с обратным знаком (см. рис. 8.38). Для этих моментов времени можно записать (2m -1) 2m -\ NT 2m-I COS (2m~l)x , k = 0, 1, 2, TV-1. (8.95) Соотношение (8.95) представляет собой уравнений относительно неизвестных х (0), х (Г),..., х [{N - 1)) Т]. В общем виде аналитически найти решение весьма затруднительно, поэтому сделаем предположение о том, что непрерывная часть обладает фильтруюш,ими свойствами. Тогда если частота (О = л/(МТ), соответствующая периоду колебаний 2 NT, достаточно велика, то можно пренебречь всеми гармониками, кроме основной, частота которой равна n/(NT), т. е. положить Ип„(я)я«0 прит>2 и в выражении (8.94) ограничиться только членом, соответствующим m == 1 Л(0 = -JBb.x(0 ( NT ) + 6 cos la sin \ NT n ЛТ \ NT j NT (8.96) Тогда условия существования периодических колебаний (8.95) запишутся так: х{кТ)= ~W„J-] ia sin -4е/-)] + + bcos\~k + Q(--]]], fe = 0, 1, 2, .... N-l, (8.97) N \ NT )\ в выражении (8.97) точки х (кТ) лежат на синусоидальной кривой, период которой равен 2NT. Для полного определения данной синусоиды нужно знать две величины: либо амплитуду и фазу, либо два каких-либо значения синусоиды. Зададимся двумя значениями х Ц), например обозначим х (0) = и и X фт12) = х. Тогда все параметров периодического колебания X (0), X (Т),..., X [(Л/ - 1) Т] выражаются через эти два значения хм х, т. е. число параметров колебания сводится к двум. Действительно записывая выражение (8.96) при = О й / = NTI2, получим а sin е X. = .(0)=-1F„„(-) -4-.COSe(-); V NT ) а COS 6 X (8.98) откуда а = - \ NT I b= - sin e f-W x2c0s e . \ NT ) \ NT ,eose()-..sine(-i)] (8.99) Подставляя эти выражения для аа b в (8.97), найдем x{kT)=: XiCos - k +xs\n~k, fe = 0, 1, 2, (/V-1). (8.100) Таким образом, задача состоит в определении двух величин х Xz> удовлетворяющих соотношению (8.99). Для этого введем в рассмотрение обратную частотную характеристику (у-со) = = (/ (со) -f /У (со). Так как и (со) = cos е (со)/ И7„„ (со), V (со) = -sin G {a)/W (со). то уравнение (8.99) перепишем в виде Отсюда получим I nt j xl + xl \ nt j xl+x\ • Коэффициенты a R b, входящие в эти выражения, являются функциями Xj, и Xg, и, следовательно, мы имеем два уравнения с двумя неизвестными: и Xg. Начало координат по времени выбрано так, что в моменты = О, Г, 2Т, (Л/ - 1) Г на выходе модулятора появляются только положительные импульсы, поэтому величинам и можно придавать только такие значения, при которых все X (кТ), вычисляемые по (8.100), имеют положительные значения, т. е. XiCos - k-]rX2sm - k0,k = 0, 1, 2. ...,(jV -1). (8.103) Эти неравенства определяют область возможных значений х и х в плоскости координат, у которой по оси абсцисс отложена величина Xj, а по оси ординат - х. Выражения (8.102) отображают эту плоскость на плоскость обратной частотной характеристики. Область возможных значений при этом отображается в такую область на плоскости IF™ (/©), что если в нее попадет точка этой характеристики, соответствующая и = = л/ (NT), то периодические колебания возможны. Рассмотрим применение полученной методики на примере простейших периодических колебаний Л/ = 1. В этом случае выражение (8.102) и выражение для а и 6 из (8.97) перепишутся в виде I t j xl+x\ [t j xl+xl • 2 2 2 a =----cosnvo(A:i); b -sinnYo(:i). (8.105) n rc n Согласно (8.103), при N = 1 возможные значения Xj. и должны удовлетворять условию х (0) = х > О, т. е. область возможных значений Xt и х представляет собой правую полуплоскость плоскости (Xj, Xg). [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [ 40 ] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] 0.0012 |