Главная  Нелинейные системы управления 

[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [ 48 ] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166]

представляет собой вероятность того, что X (t) находится в момент времени t = в интервале от до х -Ь dx,.

В каждые отдельные моменты времени ti, t, tn наблюдаемые случайные величины (сечения случайного процесса) X (,), X (а), X (tn) будут иметь свои, в общем случае разные, одномерные функции распределения f, (х,,. i), f i (Xg, t), .. ., Fi (Xn, tn) и плотности вероятности (x,, /,), ПУ, (Хг, 4),

, Wi (X„, tn).

Функции Fi (x, f) и Wi (x, t) являются простейшими статистическими характеристиками случайного процесса. Они характеризуют случайный процесс изолированно в отдельных его сечениях, не раскрывая- взаимной связи между сечениями случайного процесса, т. е. между возможными значениями случайного процесса в различные моменты времени.

Знания этих функций еще недостаточно для описания случайного процесса в общем случае. Необходимо охарактеризовать также взаимную связь случайных величин в различные произвольно взятые моменты времени.

Рассмотрим теперь случайные величины X (t) и X (2). относящиеся к двум разным моментам времени и наблюдения случайного процесса.

Вероятность того, что X (t) будет не больше х, при t = ti и не больше х при t #2, т. е.

F, (Xi, h; Х2, t) - Р{Х (ty) < .Хг, X (t,) <.х,}, (9.7)

называют двумерной функцией распределения (функцией распределения второго порядка). Если функция F (хи tu х, t) имеет частные производные по Xj и Хд, т. е.

(Хг, ty, х„ У = . (9.8)

axi 0x2

ТО функцию Ша (л;,, tii х, называют двумерной плотностью вероятности (плотностью вероятности второго порядка). Величина

(Хъ ti, Ха, 2) dxi dXz = Hxi < < X (ti) < Xi + dxi; Xa < X (t)

x, +dx}, (9.9)

равна вероятности того, что X(t) при t = ti будет находиться в интервале от Xi до .Xi + dxi, а при t - t- в интервале от до .«а + dX2.



Аналогично можно ввести понятие от п-мерти функции распределения:

Fn {xi, tl, xz, t; Xn, W = P{X (ti) < xi,

X (t) x,...; X (tn) < Xn}. (9.10)

, Если функция Fn имеет частные производные по всем аргументам Xi, Х2, Хп, т. е.

n(Xi, tl, Х2, til Хп, tn) -

- lnixi, tl, Хг, г: Хп, In) (9 И)

; • dxi дхг ... дхп

то функцию Wn называют п-мерной плотностью вероятности.

Чем выше порядок п, тем полнее описываются статистические свойства случайного процесса. Зная п-мерную функцию распределения, можно найти по ней одномерную, двумерную и другие [вплоть до (п-1)-й) функции распределения более низкого порядка. Однако многомерные законы распределения случайных процессов являются сравнительно громоздкими характеристиками и с ними крайне трудно оперировать на практике. Поэтому при изучении случайных процессов часто ограничиваются случаями, когда для описания случайного процесса достаточно знать только его одномерный или двумерный закон распределения.

Примером случайного процесса, который полностью характеризуется одномерной плотностью вероятности, является так называемый чистый случайный процесс, или белый шум. Значения X {f) ъ этом процессе, взятые в разные моменты времени совершенно независимы друг от друга, как бы близко ни были выбраны эти моменты времени. Это означает, что кривая белого шума содержит всплески, затухающие за бесконечно малые промежутки времени. Так как значения X (<), например, в момент времени ti и <2 независимы, то вероятность совпадения событий, заключающихся в нахожеиии X {Ц между лг и -f- dxi в момент времени ti и между Xg н Xg + dx в момент t, равна произведению вероятностей каждого из этих событий, поэтому

Щ (xi, tii Xjj, 1г) = Wi (Xi, tl) Wi (X2, ti) (9.12)

и вообще для белого шума

nnixi, tl, Хг, 1г; Хп, tn)=

= Wi(xi, fi)Wi{X2, ti) •Щ(-Хп, tn), (9.13)

т. е. все плотности вероятности белого шума определяются из одномерной плотности вероятности.

Для случайных процессов общего вида, если известно, какие значения приняла величина X (t/ в момент времени th, тем самым имеем некоторую информацию относительно X (<„) где т > k, так как



величины X (tm) и X (th), вообще говоря, зависимы. Если кроме X (tk) известна X (/;), где / < fe, то информация о X (/,„) еш,е более увеличивается. Таким образом, увеличение наших знаний о поведении процесса до момента 4 приводит к тому, что увеличивается информация о X {tj„).

Однако суш.ествует особый класс случайных процессов, впервые исследованных известным математиком А. А. Марковым и называемых марковскими случайными процессами, для которых знание значения процесса в момент /у уже содержит в себе всю информацию о будущем ходе процесса, какую только можно извлечь из поведения процесса до этого момента. В случае марковского случайного процесса для определения вероятностных характеристик процесса в момент времени достаточно знать вероятностные характеристики для любого одного предшествуюш,его момента времени t- Знание вероятностных характеристик процесса для других предшествуюш,нх значений времени, например il, ие прибавляет информации, необходимой для нахождения X Um).

Для марковского процесса справедливо следуюш,ее соотношение: Wn(xi, /j; х-г, /а; .v„, /,,) =

Wjjx,, if -ч. t2)m(xi. /г: Хз, /з)... w.i(xa,, in-,; л»./„)

Щ {Xi, tl)Wi(x.2, l-i) ... Wi(Xn-i, /„ ,)

(9.14)

т. е. все плотности вероятности марковского процесса определяются из двумерной плотности вероятности. Другими словами, марковские случайные процессы полностью характеризуются двумерной плотностью вероятности.

Понятие о функции распределения и плотности вероятности случайного процесса обычно используют при теоретических построениях и определениях. В практике исследования автоматических систем управления широкое распространение полу чили сравнительно более простые, хотя и менее полные характеристики случайных процессов, аналогичные числовым характеристикам случайных величин. Примерами таких характеристик служат рассматриваемые ниже математическое ожидание, дисперсия, среднее значение квадрата случайного процесса, корреляционная функция, спектральная плотность и другие.

Математическим ожиданием (средним значением) /л {t) случайного процесса X (t) называют величину

т (О М[Х (01 = j xwy {.к, t)dx, (9.15)

- DO

где Wi {х, t) - одномерная плотность вероятности случайного процесса X ().



[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [ 48 ] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166]

0.0012