Главная  Нелинейные системы управления 

[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [ 51 ] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166]

жений достаточно длительного времени Т. Среднее значение по времени обозначают прямой чертой над соответствующим выражением- случайной функции и определяют по формуле ,. , т

X(t)

= lim

f x(t)dt, (9.28) It

Реализации

X,(t)

Xi(t)

Xnit)

Рис. 9.4

если этот предел существует.

Среднее значение по времени в общем случае различно для отдельных реализаций множества, определяющих случайный процесс. Вообще говоря, для одного и того же случайного процесса среднее по множеству и среднее по времени значения различны. Однако существует класс стационарных случайных процессов, называемых эргодическими, для которых среднее по множеству равно среднему по времени, т. е.

~х = И. (9.29)

Корреляционная функция Ri) эргодического стационарного случайного процесса X(t) неограниченно убывает по модулю при т->- оо.

Однако надо иметь в виду, что не всякий стационарный случайный процесс является эргодическим, например случайный процесс X (i), каждая реализация которого Xi (i) постоянна во времени (рис. 9.4), является стационарным, но не эргодическим. В этом случае средние значения, определенные по одной реализации и в результате обработки множества реализаций, не совпадают. Один и тот же случайный процесс в общем случае может быть эргодическим по отношению к одним статистическим .характеристикам и неэргодическим по отношению к другим. В дальнейшем будем считать, что по отношению ко всем статистическим характеристикам условия эргодичности выполняются.

Свойство эргодичности имеет очень большое практическое значение. Для определения статистических свойств некоторых объектов, если трудно осуществить одновременное наблюдение за ними в произвольно выбранный момент времени (например, при наличии одного опытного образца), его можно заменить длительным наблюдением за одним объектом. Иными словами, отдельная реализация эргодического случайного



процесса на бесконечном промежутке времени полностью определяет весь случайный процесс с его бесконечными реализациями. Собственно говоря, этот факт лежит в основе описанного ниже метода экспериментального определения корреляционной функции стационарного случайного процесса по одной реализации. ,

Как видно из (9.25), корреляционная функция представляет собой среднее значение по множеству. Для эргодических случайных процессов корреляционную функцию можно определить как среднее по времени от произведения [x{t) - л:] и \x{t + т) - х], т. е.

Rx (т) = М [Х (t) X (t -Ь т)] = {X {t)-x} {х ( + т) - а:} = г

= \\т- [ {x{f)-~?i{x{t + i)-x}dt, (9.30)

где x(t) - любая реализация случайного процесса; х - среднее значение по времени, определяемое по (9.28).

Если среднее значение случайного процесса равно нулю (х = 0), то

RA)=-U{t)x{t-\-x)\=\\m -i- Г x(t)x(t + x)dt. (9.31)

Основываясь на свойстве эргодичности, можно дисперсию Dx [см. (9.19)1 определить как среднее по времени от квадрата центрированного случайного процесса, т. е.

DxM[{X(m{x{t)-xY =

= lim-i- Г {x{t)-x){x(t)-~x}dt.

Г->оо 1 J

(9.32)

Сравнивая выражения (9.30) и (9.32) при х = О, можно установить очень важную связь между дисперсией и корреляционной функцией - дисперсия стационарного случайного процесса равна начальному значению корреляционной функции:

DR{0) = const. (9.33)



Из (9.33) видно, что дисперсия стационарного случайного процесса постоянна, а следовательно, постоянно и среднее квадратическое отклонение:

а. = 1/D= const. (9.34)

Статистические свойства связи двух случайных процессов XU) и Git) можно характеризовать взаимной корреляционной функцией Rg (tl, /g), которая для каждой пары произвольно выбранных значений аргументов и равна

R.gik, t2) = M[X(t{)Git2)]-

оо оо

= j f {x-miti)}{g-mgit)}Wiix, tl, g,t2)dxdg. (9.35)

- oo - oo

Для эргодических случайных процессов вместо (9.35) можно записать

(т) = jim j (t) -~х} [g it + т) -Tg) dt, (9.36)

где v(0 и gif) - любые реализации стационарных случайных процессов X(t) и Git) соответственно.

Взаимная корреляционная функция /?я-г(т) характеризует взаимную статистическую связь двух случайных процессов Х{{) и Gif) в разные моменты времени, отстоящие друг от друга на промежуток времени т. Значение ?дд(0) характеризует эту связь в один и тот же момент времени.

Из (9.36) следует, что

Rgit)==RsA-~-) (9.37)

Если случайные процессы Xit) и Git) статистически не связаны друг с другом и имеют равные нулю средние значения, то их взаимная корреляционная функция для всех т равна нулю. Однако обратный вывод о том, что если взаимная корреляционная функция равна нулю, то процессы независимы, можно сделать лишь в отдельных случаях (в частности, для процессов с нормальным законом распределения), общей же силы обратный закон не имеет.

Заметим, что корреляционные функции могут вычисляться и для, неслучайных (регулярных) функций времени. Однако когда говорят о корреляционной функции Rxi) регулярной функции xit), то под этим понимают просто результат формаль-



[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [ 51 ] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166]

0.0018