Главная  Нелинейные системы управления 

[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [ 53 ] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166]

имеет на основании изложенного выше следующий вид:

+ 2 Mfc/2)cosoj,,T.

(9.44)

/?х(7)

8. Типичная корреляционная функция стационарного случайного процесса имеет вид, представленный на рис. следующим аналитическим выражением:

W =/?(0)е-«1 e-"W.

0 Т

Рис. 9.6

9.6. Ее

можно

аппроксимировать

(9.45)

С ростом т связь между K{t) и X{t + т) ослабевает и корреляционная функция становится меньше. На рис. 9.5, б, в приведены, например, две корреляционные функции и две соответствующие им реализации случайного процесса. Легко заметить, что корреляционная функция, соответствующая случайному процессу с более тонкой структурой, убывает быстрее. Другими словами, чем более высокие частоты присутствуют в случайном процессе, тем быстрее убывает соответствующая ему корреляционная функция.

Иногда встречаются корреляционные функции, которые могут быть аппроксимированы аналитическим выражением

/?,(T)=De-«iico3PT, (9.46)

где - дисперсия; а = const - параметр затухания; р = = const - резонансная частота.

Корреляционные функции подобного вида имеют, например, случайные процессы типа турбулентности атмосферы, фединга радиолокационного сигнала, углового мерцания цели и т. п. Выражения (9.45) и (9.46) часто используются для аппроксимации корреляционных функций, полученных в результате обработки экспериментальных данных.

9. Корреляционная функция Стационарного случайного процесса, на которой наложена периодическая составляющая с частотой со,,, также будет содержать периодическую составляющую той же частоты.




Рис. 9.7

Это обстоятельство можно использовать как один из способов обнаружения «скрытой периодичности» в случайных процессах, которая может не обнаруживаться при первом взгляде на отдельные записи реализации случайного процесса.

Примерный вид корреляционной функции процесса X{t), содержащего в своем составе кроме случайной также и периодическую составляющую, показан на рис. 9.7, где /?о (т) обозначена корреляционная

функция, соответствующая случайной составляющей. Чтобы выявить скрытую периодическую составляющую (такая задача возникает, например, при выделении малого полезного сигнала на фоне большой помехи), лучше всего определить корреляционную функцию Ях() для больших значений т, когда случайный сигнал уже сравнительно слабо коррелирован и случайная составляющая слабо сказывается на виде корре-. ляционной функции.

10. Чем слабее взаимосвязь между предыдущими X{t) и последующими X(t + т) значениями случайного процесса, тем быстрее убывает корреляционная функция ЯхЬ)-

Время Тд, при котором имеет место неравенство <

< Д, где Д - достаточно малая величина, называют времв нем корреляции случайного процесса.

Случайный процесс, в котором отсутствует связь между предыдущими и последующими значениями, называют чистым случайным процессом или белым шумом. В случае белого шума время корреляции тд = О и корреляционная функция представляет собой 6-функцию (рис. 9.5, г):

/?,(т) == Л/6(т), (9.47)

где N = const.

Заметим, что случайный процесс типа белого шума является физически нереальным, так как ему соответствуют бес конечно большое значение дисперсии и среднее значение



квадрата случайной величины D х ос(О) = то, а педовательно, и бесконечно большая мощность.

При решении практических задач часто пользуются нормированной корреляционной функцией

pA)RA)/Dx. (9.48)

Нормированная корреляционная функция удобна тем, что всегда РхФ) = - Иногда в рассмотрение вводят нормированную взаимную корреляционную функцию

P..g (т) == Rxg {r)/VRJO)R,{0), (9.49)

причем можно показать, что {0)R g{0) > Rlgb:)-

Экспериментальное определение корреляционных функций. Пусть имеется экспериментальная запись (осциллограмма) реализации X (<) некоторого случайного процесса на достаточно длинном интервале времени. В общем случае это может быть запись реализации случайного процесса с наложенной на него регулярной составляющей. На основании (9.31) корреляционная функция (т), соответствующая записи X (t), может быть приближенно вычислена следующим образом.

Весь интервал Т записи осциллограммы делится на / равных частей, длительность которых = Т/1 выбирается такой, чтобы реализация х (t) мало изменялась на протяжении интервала Д< (рис. 9.8).

Значение ординаты реализации х (t) на некотором отрезке п обозначим Хп, а значение ординаты этой же кривой, но смещенной на величину т = rndkt, т. е. X (t т), обозначим Хп+т-

Задаваясь различными значениями т, находим для различных значений т в mAt среднее значение произведения ординат jc„ и Хп+т-Приближенное значение корреляционной функции

1 - т

./?х(т)«[1/(Г-т)1 2 nx„+m. (9.50)

it= I

В (9.50) уменьшение интервала Т на величину т обусловлено тем, что ординаты Хп+т известны только до i Т - t - (I - т) At.

f>ii!i.;.




[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [ 53 ] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166]

0.0011