Главная  Нелинейные системы управления 

[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [ 54 ] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166]

Чем меньше длительность отрезков Ы и чем больше величина интервала 7", тем точнее выражение (9.50) соответствует корреляционной функции кх (т). Для получения ошибки не более 2 % должно выполняться неравенство /и < О, 1 TIht.

Приведенный способ определения корреляционной функции по экспериментально полученной реализации случайного процесса довольно трудоемок, поэтому на практике обычно корреляционные функции находят с помощью специальных приборов - корреляторов, которые автоматически вычисляют средние произведения двух ординат осциллограмм, находящихся друг от друга на расстоянии т.

Если запись реализации х (t) (осциллограмма) соответствует случайному процессу, среднее значение которого равно "л:, то экспериментально найденная по ней эквивалентная корреляционная функция (т) также будет содержать постоянную составляющую, которая (на

основании свойств 4 и 5 корреляционных функций) равна (х). Связь между корреляционной функцией (т) случайного процесса и эквивалентной корреляционной функцией R (т) определяется выражением

RAr) = Rl{t)-(x). (9.51)

§ 9.4. Спектральные плотности случайных процессов

При исследовании автоматических систем управления удобно пользоваться еще одной характеристикой стационарного случайного процесса, называемой спектральной плотностью. Во многих случаях, особенно при изучении преобразования стационарных случайных процессов линейными системами управления, спектральная плотность оказывается более удобной характеристикой, чем корреляционная функция.

Спектральная плотность случайного процесса X(t)

определяется как преобразование Фурье корреляционной функцией т. е.

5Лш)= j" /?,(т)е-/"Мт. (9.52)

Если воспользоваться формулой Эйлера е""" = coscot - - /sintoT, то (9.52) можно представить как

5хИ= J (т) cos fOTdx -у I" R{T)sin(x>xdx.



Так как Нх(т:)5т(ах - нечетная функция т, то в последнем выражении второй интеграл равен нулю. Учитывая, что R{x)cosax - четная функция т, получаем

оо оо

5ж(ы)= Rx(t)cos(i>xdx = 2 R(x)cosa>xdx. (9.53)

- оо о

Так как coscot - cos(-шт), то из (9.53) следует, что

S,((o) = S„(-а). (9.54)

Таким образом, спектральная плотность ЗЫ) является действительной и четной функцией частоты Поэтому на графике спектральная плотность всегда симметрична относительно оси ординат.

Если спектральная плотность известна, то по формуле обратного преобразования Фурье можно найти соответствующую ей корреляционную функцию:

оо оо

/ (т) = -i- f (со) е/ dco = -i- Г (со) cos oxdco. (9.55) 2л J тс J

- оо о

Используя (9.55) и (9.38), можно установить важную зависимость между дисперсией D. и спектральной плотностью 5ж(со). случайного процесса:

. оо оо

; о, (0) - f (со) dco = -± j (со) d. (9.56)

- оо о

Термин «спектральная плотность» обязан своим происхождением-теории электрических колебаний. Физический смысл спектральной плотности можно пояснить следующим образам.

Пусть X (f) - напряжение, приложенное к омическому сопротивлению 1 Ом, тогда средняя мощность Рср. рассеиваемая на этом сопро- тивлении за время 2Т, равна

..... т

Рср = - J xHt)dl.

Если увеличивать интервал наблюдения 2Т до бесконечных пределов и воспользоваться (9.30), (9.38) и (9.55) прн х = О к т = О, то можно формулу для средней мощности записать так:

оо оо

Рср= lim f x{i)df~xRx{0}= -{s{<o)dci. (9.57)

r-*oo 2T J Jt J



Равеистпо (9.57) показывает, что средняя мощность сигнала может быть представлена в виде бесконечной суммы бесконечно малых слагае-1

ыых -Sx (ы) do), которая распространяется на все частоты от О до оо.

Каждое элементарное слагаемое этой суммы играет роль мощности, соответствующей бесконечно малому участку спектра, заключенному в

пределах от ш до ы -- dco. Каждая элементарная мощность - Sx (ь)) da

пропорциональна значению функции (со) для данной частоты ш. Следовательно, физический смысл спектральной плотности состоит в том, что она характеризует распределение мощности сигнала по частотному спектру.

Спектральная плотность может быть найдена экспериментально через среднюю величину квадрата амплитуды гармоник реализации случайного процесса. Приборы, применяемые для этой цели и состоящие нз анализатора спектра н вычислителя среднего значения квадрата амплитуды гармоник, называются спектрометрами. Экспериментально находить спектральную плотность сложнее, чем корреляционную функцию, поэтому на практике чаще всего спектральную плотность вычисляют но известной корреляционной функции с помощью формулы (9.52) или (9.53).

Взаимная спектральная плотность SggU) двух стационарных случайных процессов XU) и G{t) определяется как преобразование Фурье от взаимной корреляционной функции лв(т). т. е.

5..ЛИ= j ?..«Me-"rfx. (9.58)

- оо

По взаимной спектральной плотности можно, применяя к (9.58) обратное преобразование Фурье, найти выражение для взаимной корреляционной функции:

?«() = j 5,,(/о)е/-Мш. (9.59)

- с»

Взаимная спектральная плотность Seii) является мерой статистической связи между двумя стационарными случайными процессами: X{t) и G{t). Если процессы Х(/) и G{t) нскоррелированы и имеют равные нулю средине значения, то взаимная спектральная плотность равна нулю, т. е.

S,,(H-0. (9.60)

В отличие от спектральной плотности 5зс(ю) взаимная спектральная плотность Sgiia) не является четной функцией ш п представляет собой ие вещественную, а комплексную функцию.



[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [ 54 ] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166]

0.0012