Главная  Нелинейные системы управления 

[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [ 55 ] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166]

Рассмотрим некоторые свойства спектральных плотностей S.(»)-

1. Спектральная плотность чистого случайного процесса, нли белого шума, постоянна во всем диапазоне частот (см. рис. 9.5, г):

5(ы) = n = const. (9.61)

Действительно, подставляя в (9.52) выражение (9.47) для корреляционной функции белого шума, получим

5.(ы)- { Лб(т)е-"Мт=Л/(е-/<"К,о=Л.

- ОО

Постоянство спектральной плотности белого шума во всем бесконечном диапазоне частот, полученное в последнем выражении, означает, что энергия белого шума распределена по всему спектру равномерно, а суммарная энергия процесса равна бесконечности. Это указывает на физическую нереализуемость случайного процесса типа белого шума. Белый шум является математической идеализацией реального процесса. В действительности частотный спектр S(co) западает на очень высоких частотах (как показано пунктиром иа рис. 9.5, г). Если, однако, эти частоты настолько велики, что при рассмотрении какого-либо конкретного устройства они не играют роли (ибо лежат вне полосы частот, пропускаемых этим устройством), то идеализация сигнала в виде белого шума упрощает рассмотрение и поэтому вполне целесообразна.

Происхождение термина «белый шум» объъясняется аналогией такого процесса с белым светом, имеющим одинаковые интенснвиостн всех компонент, и тем, что случайные процессы типа белого шума впервые были выделены при исследовании тепловых флуктуациоиных шумов в радиотехнических устройствах.

2. Спектральная плотность постоянного сигнала x{t) = Ло представляет собой б-функцию, расположенную в начале координат (см. рис. 9.5, а), т. е.

5(со>»2пЛгб(ы). (9.62)

Чтобы доказать это, допустим, что спектральная плотности, имеет вид (9.62), и найдем по (9.55) соответствующую ей корреляционную функцию. Так как ...

j 6 (ш) е-Мо) = е"\



то при о) = 0 получаем

2лА1 6 И е«Мш = Л б 1е"-Ч„ = о = о-

Это (в соответствии со свойством 5 корреляционных функций) означает, что сигнал, соответствующий спектральной плотности, определяемой (9.62), является постоянным сигналом, равным Л о.

Тот факт, что спектральная плотность Sifo) представляет собой б-функцию при со = О, означает, что вся мощность постоянного сигнала сосредоточена на нулевой частоте, что и следовало ожидать.

3. Спектральная плотность периодического сигнала x(t) = = Л5ш(сй1 + <р) представляет собой две б-функции, расположенные симметрично относительно начала кординат при to = Oi и (й = -(й, (см. рис. 9.5, д), т. е.

S„ (ш) = 2я - [б (ш -coi) -f б (ш -f- coi)l.

(9.63)

Чтобы доказать это, допустим, что спектральная плотность имеет вид (9.63), и найдем по (9.55) соответствующую ей корреляционную функцию:

2л - [б (ю - ooi) + 6 (ш + ooi)l е" йи> =

е/«т б (о) - wj) dco -f е6 (co-f-coi)dco

=-[Q/itr -{-е-"Ч == 2coscoi т == cos со, т.

Это (в соответствии со свойством 6 корреляционных функций) означает, что сигнал, соответствующий спектральной плотности определяемой (9.63), является периодическим сиг* налом, равным x{t) - Л51п(со1/ + <р).

Тот факт, что спектральная плотность Sia) представляет собой две 6-фуикции, расположенные при coi и -со,, означает, что вся мощность периодического сигнала сосредоточена на двух частотах: о, и -а,. Если рассматривать спектральную плотность только в области положительных частот, то по-



-u)j -«j -<i>, 0 (O, tOj Рис. 9.9

лучим, что вся мощность периодического сигнала будет сосредоточена на одной частоте tOi.

4. Спектральная плотность временной функции, разлагае-

мой в ряд Фурье x{t) = Ло + 2 Afsm{ii)kt + фь), имеет на основании изложенного выше вид

5,((0) = 2я

ЛВб(о>)+ 2 -(6(«>-cOh) + 6((o + (o,)l . (9.64)

Этой спектральной плотности соответствует линейчатый спектр (рис. 9.9) с б-функциями, расположенными на положительных и отрицательных частотах гармоник. На рис. 9.9 6-функции условно изображены так, что их высоты показаны пропорциональными коэффициентам при единичной б-функции, т. е. величинам Ло и Л1/4.

Заметим, что спектральная плотность 5ж(со), как это следует из (9.64), не содержит, так же как и корреляционная функция, определяемая (9.44), никаких сведений о фазовых сдвигах отдельных гармонических составляющих.

5. Спектральная плотность случайного процесса, не содержащего периодической составляющей, представляет собой график без ярко выраженных пиков (см. рис. 9.5, б, в).

В этом случае спектральная плотность часто аппроксимируется следующим аналитическим выражением:

• . ((О) = 2DаЦа + со = 2D TJ{ 1 + Tl), 9.65)

где Dj. - дисперсия случайного процесса; а = const - параметр затухания; Т = Ма - постоянный коэффициент.



[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [ 55 ] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166]

0.0011