Главная  Нелинейные системы управления 

[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [ 59 ] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166]

так и соответствующий регулярный сигнал; G{t), F{i) - центр ированные случайные составляющие полезного сигнала и помехи соответственно.

Тогда любую искомую координату системы можно также представить в виде двух составляющих: эквивалентной регулярной составляющей и центрированной случайной составляющей. При расчетах систем автоматического управления обычно интересуются динамической точностью системы, характеризуемой ошибкой системы E{f) = G{f) - X{t). На основании изложенного выражение для ошибки системы при случайных воздействиях может быть записано в виде

Е(0=те(0 + Ё(0. (9.85)

Таким образом, нахождение случайной ошибки E(t) можно свести к нахождению ее регулярной составляющей m(t) и центрированной случайной составляющей Е(?). При этом в линейной системе на основании принципа суперпозиции mjjt) и E(t) складываются из составляющих от действия по лезного сигнала и помехи, которые можно находить порознь.

Регулярную составляющую ошибки in{t) можно рассматривать как реакцию линейной системы на регулярные внешние воздействия mg{t) и mf{t) и определять через передаточные функции системы:

те (О = Wg (S) nig (t) + Wfe (s) ntf (0 - ml (t) + ml (t), (9.86)

где Wgis) = + W(s)\ - передаточная функция замкнутой системы, связывающая ошибку и полезный сигнал; fe{s) = W2(s)/[1 + W{s)] - передаточная функция замкнутой системы, связывающая ошибку и помеху.

Установившееся значение (математическое ожидание) ошибки Ше(0 при медленно меняющихся регулярных функциях mg{t) и mflt) обычно определяют методом коэффициентов ошибок.

В частном случае если регулярные внешние воздействия постоянны (либо отсутствуют), а случайные воздействия представляют собой стационарные случайные процессы, то «ig = const и nif = const. В этом случае ошибка Е() будет являться стационарным случайным процессом, математическое ожидание которого /Пр определяется через уравнение статики системы:

Щ Wg (0) mg + ire (0) mf = const. (9.87)



Центрированную случайную составляющую ошибки Ё(/) можно рассматривать как реакцию системы на центрированные случайные составляющие управляющего сигнала G{t) и помехи F(t). Так как Ё(/) представляет собой случайный процесс, то находят не мгновенные значения E(t), а некоторые ее статистические вероятностные характеристики (дисперсию ошибки и др.).

Центрированные случайные составляющие полезного сигнала С(0 и помехи F(t) обычно задаются или корреляционными функциями Rg{t) и /?/(г), или спектральными плотностями Sg(<o) и 5/(<о). Если полезный сигнал и помеха коррели-рованы, то задается также взаимная корреляционная функция Rgfix) или взаимная спектральная плотность 5/(/(о). На основе выражений (9.78), (9.79) или (9.81), (9.82) по заданным корреляционным функциям или спектральным плотностям внешних воздействий полезного сигнала и помехи определяют корреляционную функцию R е(т) или спектральную плотность Se(<d) ошибки, а затем, используя их, находят статистические (вероятностные) характеристики ошибки.

Так, например, зная корреляционную функцию ошибки /?£(т), можно, используя выражение (9.33) определить дисперсию ошибки:

D=./?,(0). (9.88)

Если известна спектральная плотность ошибки Se(co), то на основании (9.56) дисперсию ошибки можно найти по формуле

Se (to) dco = - Г Se (со) dco. (9.89)

- oo 0

в практических расчетах дисперсию ошибки чаще всего определяют через спектральную плотность, используя формулу (9.89).

Спектральную плотность ошибки Se(co) для рассматриваемой системы (рис. 9.12) при коррелированных полезном сигнале и помехе в соответствии с (9.79) вычисляют по формуле

Se (со) = 1 (/со) f Sg (со) -i-WgA- /О)) Wfe Oco) Sgf (/co) +

+ (/CO) ir ,e (-/CO) Sf, (/CO) + \ W„ (/CO) p Sf (CO), (9.90



где Sg(to), S/((o) - спектральные плотности центрированных случайных составляющих полезного сигнала G(f) и помехи F{i); Sgf(j(o), Sg(co) - взаимные спектральные плотности между т и F{t); Wg,{jio) = - частотная пере-

Рис. 9.13

= l + rt/o))

даточная функция, связывающая ошибку Е (О и полезный сигнал G(t); Wfijn)) = W{ia)l{\ + - частотная пере-

даточная функция, связывающая ошибку E{f) и помеху F{t)\ \f (/со) = Wx (/со) Wi, (/со) - частотная передаточная функция размокнутой системы; W{jio) - частотная передаточная функция части разомкнутой системы между точкой приложения помехи и выходом системы.

При отсутствии корреляции между полезным сигналом и помехой их взаимные спектральные плотности равны нулю и выражение для спектральной плотности ошибки упрощается:

Se (со) == 1 Wg (/со) f Sg (со) +1 Wf (/со) f Sf (со). (9.91)

В частном случае, когда помеха действует на входе разомкнутой системы (как это показано на рис. 9.13) и корреляция между полезным сигналом и помехой отсутствует, выражение (9.91) можно записать в виде

Se (со) =

Sg(co) +

W (/со)

I+«7 (/со)

Sy(co). (9.92)

Дисперсия ошибки, вычисляемая по (9.89), в общем случае состоит из отдельных составляющих, определяемых слагаемыми (9.90):

De = Dl + Dil-rD/ + Di (9.93)

Обычно находят отдельно /> для 5g(co), Df для Sgy(/uj) и т. д., а затем суммируют все составляющие дисперсии в соответствии с (9.93).

В соответствии с (9.20) среднее значение квадрата ошибки равно ...

где mS)

Et)=ml{t) + D, (9.94)

регулярная составляющая (математическое ожи-

дание) ошибки, определяемая по (9.86); D - дисперсия ошибки., определяемая по (9,88) или (9.89),



[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [ 59 ] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166]

0.0022