Главная  Нелинейные системы управления 

[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [ 65 ] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166]

Выражение для любой реализации случайной суммарной ошибки можно записать следующим образом:

8(0 = z(0 - x{t) = H(s) g(t) - W,{s)u{f) = Wis) -

- W,(s)] g{t) - WM(t). Выражение для спектральной плотности ошибки

5е («>=i (/«)-и?, (нр5, (со)+«?з(Н5(0), :

а среднее значение квадрата ошибки

со

? = (1/2я) J {Я(/ш)-117з(/о))р5g(co) +

- 00

+ [W,{jw)\Sf{<o)}dio. (9.113)

Для минимизации ошибки необходимо выбрать соответствующую частотную передаточную функцию системы Гз.опт (/«)•

Основная трудность в минимизации выражения (9.113) связана с учетом условий физической осуществимости передаточной функции системы W.o (s). Найдем сначала Wg.oTi-r () без учета этого условия, а затем на основе полученного решения построим лучшую из физически реализуемых систем.

Записав частотные передаточные функции Я(/со) и Ws (/ы) в виде

Н (/со) = Н (ю) е/*<») = Н (со) cos (со) -Ь /Я (со) sin iji (ы); 3 (Н = 4 (со) ef<> = Л (со) cos ф (со) + \А (со) sin ф (со), вычислим

1Я(/со) - Гз (/£о)Р = Я2(со) + Л2(со) - 2Я(со) Л (со) X

X cos [tl)(co) - ф(£о)]. Тогда (9.113) принимает вид

eJL j {{Я2(") + Л2(ш)-2Я(со) Л(со) X

- со

X cos [яр (со) -ф (со)]} Sg (со) + Л (со) 5/ (со)} dco. (9.114) Из (9.114) необходимо найти такие значения Л (со) и ф(со), при которых выполнялось бы условие = min. Это типичная вариационная задача, решаемая, например, с помощью уравнений Эйлера.



Учитывая, что Н(ы), /4(ы), Sgiw) и 5/(со) положительны при любом значении ю, для минимизации необходимо, чтобы член 2Я(со)Л(а>) cos[tj)(<o) - ф(сй)] был наибольшим, т. е. чтобы

ф(ю) = ф(ю). (9.115)

Тогда (9.114) примет вид

J {[Н (со) + А (О)) -2Я (м) А («)] Sg (со) -Ь

СО - ,

-t-(co)5j(co))dco=.- Г Qdco.

2я J

Так как все члены в последнем подынтегральном выражении положительны, то минимум среднего значения квадрата ошибки будет при минимальном значении функции Q. . Приравнивая dQ/d(co) = О, получаем

[2Л(со) - 2Я(со))5(со) + 2Л(со)5Дсо) = О.

откуда находим выражение для оптимальной амплитудно-частотной характеристики замкнутой системы:

о„,И=-Я(со). (9.116)

Имея в виду, что W.n-r (/<») = -4опт(й)е<>, выражения (9.115) и (9.116) можно объединить в одно уравнение:

..о„Л/«) = -нищ. (9.117)

Как следует из (9.117), единственными статистическими характеристиками полезного сигнала и помехи, необходимыми для определения оптимальной частотой передаточной функции замкнутой системы, являются их спектральные плотности.

Оптимальная частотная передаточная функция системы, определяемая по (9.117), была найдена без учета возможности ее физической реализуемости.

Условием физической реализуемости системы является равенство

ft (О = О при / < О,

т. е. реакция системы на 6-фуикцию, действующую в момент / = О, равна нулю при / < О.

Частотная передаточная функция Ws.onT U<) физически реализуемой системы должна иметь все полюсы в верхней полуплоскости кор-



ней, а соответствующая ей передаточная функция иэ.о„т («) Должна иметь только левые корни. Однако оптимальная частотная передаточная функция, определяемая (9.117), может оказаться в общем случае физически нереализуемой. Это можно показать на частном простейшем примере. Пусть решается задача воспроизведения, т. е. (to) = 1, и пусть помеха представляет собой единичный белый шум, т. е. Sf (to) «- = 1. Тогда

1е.о„т (/to, « 11 И (to) = .

Sg(to)--S(to) Sg(to)-bl

и так как 1 + 5g (to) - положительная величина, то она раскладывается на комплексные множители, один из которых всегда будет иметь полюсы в нижней полуплоскоств корней. Импульсная переходная функция k (0. найденная для такой частотной передаточной функции, будет существовать и для отрицательных значений времени / < О, т. е. до приложения возмущения. Это и свидетельствует о нереализуемости

Оптимальная частотная передаточная функция, определяемая (9.И7), оказалась физически нереализуемой потому, что в реальных системах всегда существует связь между амплитудно-частотной А (to) и фазовой tp (to) характеристиками, которая ие была учтена при выводе формулы (9.117). При выводе (9.117) решались уравнения (9.115) и (9.116), которые, как правило, являются несовместимыми; т. е. нельзя найтн одно решение, одновременно удовлетворяющее обоим этим урав-иевиям.

Для того чтобы реализовать функцию, наиболее близкую к оптимальной, необходимо-из Wa.om (/«) выделить физически реализуемую часть с полюсами, находящимися в верхней полуплоскости корней, а остальные члены отбросить.

Для этого, пользуясь методикой, предложенной Г. Боде и К. Шенноном, разлагают сначала знаменатель выражения (9.117) на комплексные множители (операции с<факторизации»):

Sg(io) + Sji() = \W{}wr\(j<)W(jc), (9.118)

где Y (/со) - функция, все нули и полюсы которой лежат в верхней полуплоскости комплексного переменного /со;

/оз) - функция, комплексно-сопряженная с ¥(/«>), все нули и полюсы которой лежат в нижней полуплоскости комплексного переменного /ш.

. Затем производят разделение 1з.овт U<i>) на реализуемые и нереализуемые слагаемые (операция сфасщепления»):

1 Г8е{ш)Наы)

Y(/to) I (-/to) J+

l Г Sg (to) (/CO)

*(/tu) 1 4(-to)

(9.119)



[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [ 65 ] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166]

0.0012