Главная  Нелинейные системы управления 

[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [ 66 ] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166]

причем реализуемая часть отмечается знаком плюс, а нереализуемая - знаком минус.

Отбрасывая члены, соответствующие нереализуемой части, условие оптимальности с учетом физической реализуемости записывают следующим образом:

(/(О) . (9.120)

Физически реализуемая частотная передаточная функция оказывается уже неоптимальной в прежнем понимании, но среди физически реализуемых функций в соответствии с принятым критерием она является наилучшей.

Таким образом, когда полезный сигнал и помеха нскоррелированы, нахождение оптимальной физически реализуемой частотной передаточной функции 30 0) производится в следующем порядке:

1. Вычисляем суммарную спектральную плотность управляющего сигнала и помехи и представляем эту сумму в виде двух комплексных сомножителей:

5 Л«) =» (со) + Sf (со) = W 0-со) ¥ (-/со).

2. Выделяем составляющую 1/¥(/со).

3. Раскладываем на простейшие слагаемые выражение Sg((o) Я(/(й)/¥(-/со) = Mi(/cu)/P(/cu) + М,(/(о)/Р(-/сй) и. отбрасывая члены с полюсами, расположенными в нижней полуплоскости корней, т. е. М{1(а)1Р{-/со), выделяем из него физически реализуемую часть Mi(/cu)/P(./co).

4. Определяем оптимальную физически реализуемую частотную передаточную функцию системы:

WB.oBT (/«) = My (/со)/¥ (/со) Р (/со). (9.121)

Можно показать, что при наличии взаимной корреляции полезного сигнала и помехи оптимальная частотная передаточная функция

1 - Sg(i)+Sgf(M .j-

(9.122)

где Y(/co) ¥ (-/со) = S„ (со) = 5g(co) + Sg;(/co) + Sg(/co) + -f S/(cu); SgfUui), Sfgija) - взаимные спектральные плотности управляющего сигнала и помехи.

Оптимальную передаточную функцию 1з.опт () получают по найденной оптимальной частотой передаточной функции Wa.om (i) подставляя В последнюю S вместо /со. .



Затем в соответствии с полученной передаточной функцией (s) выбирают элементы системы. Если часть элементов задана и изменить их параметры не представляется возможным, то в таких случаях задача сводится к выбору параметров корректирующих цепей при найденной отпимальной передаточной функции системы управления в целом и известных передаточных функциях отдельных заданных элементов системы.

В системе, имеющей оптимальную передаточную функцию, получается теоретически достижимый минимум среднего квадрата ошибки:

ёп = - J {1 (;«)Г5,И-11?з.„„,0-«)р5„И}со. (9.123)

Пример 9.6. На входе следящей системы действует случайный полезный сигнал О (/)> имеющий спектральную плотность

Sg (ш) = 2Dg Гд/(1 +ы Tl) = Sg (0)/(1 -f ш» Г) .

где Sg (0) = 2Dg Tg - значенне спектральной плотности полезного сигнала иа нулевой частоте.

На полезный сигнал наложена случайная помеха F (t) типа «белый шум», спектральная плотность которой равна S/ (ш) = Sf (О) = = N, где 5/ (0) - значение спектральной плотности помехи на нулевой частоте. Корреляция между полезным сигналом и помехой отсутствует.

Требуется определить оптимальную передаточную функцию следящей системы и соответствующую ей дисперсию суммарной ошибки.

1. Вычисляем спектральную плотность суммарного входного сигнала (/(/) = С (/) + F (t) и представляем ее в виде произведения комплексных сомножителей:

Sg (O)-f 5, (0) (l-fco» rn 5u (w)=.5j(u)-f =-T+-

=-Ч(/Чо)Ч(-,..).

2. Определяем Y (/to) и Y (-/to), для чего раскладываем полученное выражение иа комплексно-сопряжеииые множители:

e(0)-f S,(0)(l-ba,» Tl) (1 + /ш<х)(1-/ш<х)

--; -!1 \Sg(О)-ьSf (0)] „ , . „ .

l-fto«r /torg)(l-;to7-j)

где arj/yr+f; p = 5g(0)/SnO).



Следовательно,

1 + juia

4(/co) = ySg(0) + Sj (0)

У(-/с.) = У5д(0)+5;(0) .

Sg{tx>)

3. Находим составляющую -7- H (/to). В нашем случае для следящей системы И (/ш) = 1, по»тому получаем

Wl-iw) " (I + Tj) ySg (0) + (0) (1 -/ша)

. SgJO)

VSg {0) + (0) (1 + /ШTg)ll- /Шa)

4. Раскладываем последнее выражение иа простые слагаемые:

-<°> (- +--

YC-Zt-l ySg (0) + 5, (0) \<х + Гд1+/ш7- 1 + Гв1-/ша;

Лу7ш) М, (/ш)

/(/ш) Я(-/о))

отбрасывая члены с полюсамп, расположенными в правой полуплоскости, выделим физически реализуемую часть:

М, (/со) Sg (0) Г

5. Находим оптимальную частотную передаточную функцию физически реализуемой системы:

PU<) ySg{Q) + Sf{0) a + Tg \+]bjTg

ную частотную передаточну! ;мы:

1 М, (/(О) Sg (0)

«а.оптСМ- .j /(/ш) - 5,(0)-Ь5,(0,

7"- 1 К

о + Я 1-f/too 1-1-/шГ (0) Те Р

где Д =--= --- "

5s(0)-fS(0) a + Tg l\+p){l + l/yiT)

l j p коэффициент усиления замкнутой оптимальной

системы; 7" = а = ТУ\ + р - постоянная времени замкнутой оп-тимальпой системы.

6. Подставляя в последнее выражение s вместо /со, находим опт-и мальную передаточную функцию замкнутой системы:

W<..OBT(s) = /C/(l-fsr).



[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [ 66 ] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166]

0.0011