Главная  Нелинейные системы управления 

[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [ 69 ] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166]

Таким образом, при синтезе оптимального фильтра Калмана - Быоси задача сводится к нахождению таких функций времени Q(f) и С(/) в дифференциальном уравнении (9.140), при которых обеспечивался бы минимум математического ожидания квадрата случайной ошибки, т. е.

М1{ЕЦ)У] = M[{Z(t) - Х{Г)У] = min. (9.141)

"Предполагая, что случайный процесс Z{fj представлен в виде (9.135), приведем без доказатель-тва формулы для нахождения функций Q{f) и C{f), при которых обеспечивается минимум (9.141).

Прежде чем определить функции Q{t) и C{t), находят некоторую функцию времени r(t), равную математическому ожиданию квадрата случайной ошибки (дисперсии ошибки):

r(t) = Ml{Eit)y]: (9.142)

она определяется как решение следующего дифференциального уравнения Риккати:

dr(i)/dt = L{t) + 2A(t) r(f) - r\t)lN{t). (9.143)

Для решения (9.143) нужно знать начальное значение r{ta) при ta = 0. Обычно Х(<о) = О, поэтому

£(W=Z(g-X(fo)=Z((o):

г (fo) = Л1 [{£ {to)Y\ = М \{Z {to)f\ = ;?„ (ta. ta). (9.144)

После нахождения функции r(t) определяют функцию C(i) по формуле

С(0 = r(t)/N(t) (9.145)

и функцию Q(f) по формуле

Q(t) A(t) - C(i). (9.146)

Наиболее сложным этапом синтеза оптимальных фильтров методом Калмана - Бьюси является решение уравнения Риккати (9.143). В общем случае оно требует применения ЭВМ.

Важное самостоятельное значение имеют также вопросы исследования существования решения уравнения (9.143), его единственности и устойчивости.

читывая (9.146), уравнение оптимального фильтра Калмана-Бьюси иногда записывают в следующем виде:

dX(f)/dt = A(i) X(t) + C(f) lU(t) - X(f)]. (9.147)



Дифференциальному уравнению (9.140) соответствует структурная схема оптимального фильтра, показанная на рис. 9.19, а; дифференциальному уравнению (9.147) соответствует структурная схема, показанная на рис. 9.19, б. Таким образом, оптимальный фильтр Калмана-Бьюси можно рассматривать как некоторую динамическую систему с обратной связью, имеющую структурную схему, приведенную либо на рис. 9.19, а, либо на рис. 9.19,6. Естественно, что обе эти структурные схемы эквивалентны.

Для нестационарных случайных процессов функции А (/), C(t), Q{t) зависят от времени и оптимальный фильтр Калмана- Бьюси получается нестационарным.

Для стационарных случайных процессов функции A{t) = - А, а также в установившемся режиме функции C(t) = С; Q(t) = Q = у4 - С не зависят от времени, поэтому оптимальный фильтр Калмана-Бьюси в этом случае является стацио-нарным, определяемым дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами

dX{t)ldt = (Л - С) X{t) -Ь CU{t). (9.148)

Система описываемая (9.148), будет в установившемся режиме воспроизводить на своем выходе стационарный случайный сигнал Z(t) с минимальной средней ква;фэтической ошибкой.

Q(t)

X(i)

\X(t)

A(i)



A(t)

Рис. 9.20

Естественно, что для стационарных процессов результаты, полученные методом Калмана-Бьюси и методом Винера, совпадают. Уравнение (9.148), полученное во (Временной области, эквива--яентио оптимальному фильтру Винера, определяемому в частотной области уравнением (9.125).

Остановимся кратко на очень существенном для фильтров Калмана-Бьюси вопросе о возможности представления случайного процесса Z{f) в виде дифференциального уравнения (9.135).

Нахождение (9.135) связано с задачей определения формирующего фильтра (стационарного или нестационарного), который при воздействии на его вход белого шума V{t) позволяет получить на своем выходе заданный случайный процесс Z{t). Структурную схему такого формирующего фильтра в соответствии с (9.135) можно представить так, как показано на рис. 9.20.

Для стационарных случайных процессов методы определения параметров формирующих фильтров разработаны хорошо. В этих случаях формирующий фильтр можно описать обыкновенным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами или соответствующей передаточной функцией формирующего фильтра (s). Особенно просто находится передаточная функция формирующего фильтра в том случае, когда выражение для спектральной плотности (to) стационарного случайного процесса Z(/) имеет вид дробно-рациональной функции частоты, т. е. когда выражение для спектральной плотности может быть представлено в виде произведения двух комплексно-сопр яжен ных множителей:

S, (и) = Si(/to) Si(-/и).

(9.149)

Пусть на входе формирующего фильтра действует стационарный случайный сигнал v{1) типа «белый шум», имеющий спектральную плотность Sp(to) = l, тогда спектральная плотность сигнала на выходе формирующего фильтра

S, (со) = I (Ja) S„ (со) - </co) (- /со) S, (со).



[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [ 69 ] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166]

0.0014