Главная  Нелинейные системы управления 

[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [ 70 ] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166]

Учитывая (9.149). можно записать

St (уса) S, (-/о) - [VSTM »ф (/«)] [KsTh ( - /ш)].

откуда частотная передаточная функция формирующего фильтра

«Ф (/«) = Si (/«)/]/5л«) = Si (/ш)/1/1. (9.150J

Подставляя в последнее выражение s = /ы, получаем выражение для передаточной функции формирующего фильтра

W(s)S,{s)/VT. (9.151,

Зная передаточную функцию формирующего фильтра, находим дифференциальное уравнение вида (9.135), связывающее случайные процессы Z(t) и V(t).

Если спектральная плотность (со) ие является дробно-рациональной функцией частоты или получена экспериментально, то для нахождения формирующего фильтра ее нужно сначала аппроксимировать дробно-рациональной функцией частоты.

В заключение следует отметить, что если входные воздействия являются стационарными случайными процессами, то метод Калмана-Бьюси не имеет преимуществ перед методом синтеза оптимальных фильтров Випера. Этот метод в основном применяют для синтеза оптимальных нестационарных линейных фильтров.

Он позволяет также достаточно просто находить структуру и параметры оптимального фильтра и в том случае, когда воспроизводимый сигнал Z(t) описывается полиномом со случайными коэффициентами:

Z(t)=.ao+ait + ...-ha„i".

где Со, Cl.....а„ - случайные величины с известными статистическими характеристиками.

Синтез оптимальных линейных фильтров Калмана-Бьюси, проведенный первоначально для помехи в виде белого шума, был в дальнейшем развит на более общие случаи, например иа случай коррелированных* помех, имеющих неравномерную спектральную плотность, на случай нелинейной фильтрации и др. Заметим, наконец, что оптимальные фильтры Калмана-Бьюси, как и оптимальные фильтры Винера, позволяют решать не только задачу оптимального воспроизве-



дения сигнала на фоне помех (фильтрации), но и задачи статистического упреждения, статистического дифференцирования и т. д.

Пример 9.8. На входе линейной следящей системы действует стационарный случайный процесс С (/), спектральная плотность которого.

(ш) (0)/(1+со2 Г) =2Dg 7-/(1+со Г)

И случайная помеха F (t) типа «белый шум», имеющая спектральную плотность

S/(w) = S/(0) = yV.

Числовые значения коэффициентов

Dg=100B2; Г = 20с: Л = 0,01 В/Гц.

Определить методом Калмана-Бьюси оптимальную передаточную функцию системы, обеспечивающую минимум средней квадратической ошибки.

1. Так как система предназначена для воспроизведения полезного сигнала С (t), то преобразующий оператор Я (s) = I, воспроизводимый сигнал Z (t) = С {t) и, следовательно, S (to) = Sg (to).

В соответствии с (9.149) представляем выражение для спектральной плотности Sg (to) в виде произведения комплексно-сопряженных сомножителей

I-b/to"g l-jaiTg

и находим

S,{M = ySelO)/{l+iTg).

2. Рассматривая заданный стационарный случайный процесс G (<) как реакцию некоторого формирующего фильтра на стационарный случайный процесс V (t) типа «белый шум», имеющий спектральную плотность S„ (to) = L. находим частотную передаточную функцию этого формирующего фильтра по (9.150):

3. Находим передаточную функцию формирующего фильтра:

V(t) V L X+sTg

4. Полученной передаточной функции формирующего фильтра соответствует следующее ди(5)фереициальное уравнение, связывающее случайные процессы G (О и V (Г):

dG (t) ч А Sg (0) dG{t) 1

/г-~+С(0=/ -(0.или- = -С(0 +



Чтобы привести последнее дифференциальное уравнение к виду (9.135), примем, что спектральная плотность белого шума равна S„ (w) «= L = Dg/Tg, тогда VSg (0)/Lr = 1 и окончательно слу-чайный процесс G (t) можно представить как dG {tydt = AG{t)+ V (О,

где А = -l/Tg.

Соответствующая этому дифференциальному уравнению структурная схема формирующего фильтра показана на рис. 9.21, а. 5. Уравнение (9.143) в данном случае имеет вид

dr {t)/dt = L + 2Ar (О - г2 {t)lN.

При постоянных значениях коэффициентов А, L и N это дифференциальное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными и приводится к следующему виду:

dr/{L + 2Ar-ryN)-dt = 0.

Интегрируя по общим правилам, получаем

-r/N + A-УА + L/N

yW+IjN

-r/N + A + yA + L/N .

-/«InCi.

где Су - постоянная интегрирования.

Последнее выражение можно переписать следующим образом:

In---* =tyA + L/N.

{-r/N+A + yA + L/N)C

Новую постоянную интегрирования С находят из начальных условий при / = /о = 0. В соответствии с (9.144), начальное значение дисперсии ошибки г (to) = Rgg (tn, у = Rg (0) = Dg, поэтому постоянная интегрирования получается равной

-Dg/N+A-yA + L/N

-Dg/N + A + yA + L/N

Таким образом, можно записать

{ -r/N + A -y7+L/N){-Dg/N + A + yA + L/N)

{-r/N + A + yA + L/N)(-Dg/N + A-yA+L/N)

Учитывая, что L - 2Dg/Tg, A = -l/Tg, и производя соответствующие преобразования, окончательно получаем

rtyJL 0.5р(1 + УГ+р)-0.5р(1-ЬУтаеР* j

« (1+0,5р-У1-р)-(1-Ь0.5р-ьУ1-1-р)еР

где р = Sg (0)/Sf (0) - отношение спектральных плотностей воспроизводимого сигнала и помехи, на нулевой частоте.



[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [ 70 ] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166]

0.0012