Главная  Нелинейные системы управления 

[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [ 76 ] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166]

в случае нечетной нелинейной характеристики ф, учитывая (9.175), получаем следующее выражение для коэффициента kg-.

komx{t)lmy(f). (9.187) Значение коэ(}х})ициента А, находим из

aeVdft, 2kyDy (О - 2/? J (0) = О,

откуда

=/?о (0)/D,(0 = (0). (9.188)

Обозначение fei"* показывает, что коэффициент ky найден по второму критерию эквивалентности.

Статистический коэффициент k\ можно выразить также через плотность вероятности wijy) входного случайного сигнала Y{{) и нелинейную зависимость ф, т. е.

k?--L~ г {y-m,)tf{y)w{y)dy, (9.189)

где J {у-Шу)ф{у)W(у)dy {t) °y{t)=DoR. (0).

- со

Обычно значение коэффициента fej*, определенное из первого критерия по (9.180), является несколько завышенным, а fci", определенное из второго критерия по (9.188), - несколько заниженным, поэтому при расчетах рекомендуется брать их среднее арифметическое значение, т. е.

/fei = (M"+i=")/2. (9.190)

Сравнивая (9.178), и (9.179) с (9.186) и (9.187), видим, что коэффициенты фо и получаются одинаковыми при статистической линеаризации как по первому, так и по второму критерию.

Из (9.181), (9.182), (9.183) и (9.189) видно, что статистически эквивалентные коэффициенты усиления зависят не только от вида характеристики нелинейного элемента ф((/), но и от закона распределения (плотности вероятности) случайного процесса на входе нелинейного элемента w (у).

При использовании метода статистической линеаризации приближенно полагают, что закон распределения случайного процесса является нормальным. Такое предположение можно сделать потому, что прк прохождении случайного сигнала с



любым законом распределения через линейные инерционные звенья на выходе последних закон распределения случайного сигнала оказывается близкимк нормальному. При этом чем инерционнее система, тем закон распределения случайного сигнала на ее выходе ближе к нормальному. Наличие нелинейного элемента в системе нарушает это, однако при достаточно узкой полосе пропускания линейной части системы имеется тенденция к восстановлению нормального закона распределения.

При нормальном законе распределения плотность вероятности однозначно определяется математическим ожиданием и дисперсией случайного процесса, поэтому в этом случае коэффициенты kf, и fti будут лишь функциями математического ожидания Шу и дисперсии Dy входного сигнала, т. е.

kokoitUy, Dy); ft, = ft,(my, Dy). (9.191)

To обстоятельство, что коэффициенты ft„ и k зависят от параметров Шу и Dy входнси-о сигнала, отражено на рис. 9.26 пунктирными линиями.

Формулы (9.181), (9.182), (9.183) и (9.189) при нормальном законе распределения будут иметь следующий вид:

Фо- Г Ф(/)--l=-e-<--"«)/<My; (9.192) J У2лО„

- оо **

ft„=.i f ф() е-<--«)У<«)У; (9.193) «г/ J 1/2л£>„

ф2 () J . e-<--"j,)V(2„) dy -ml

(9.194)

cx> ,

k\V f (u -m,) Ф (V) -e-<-"-y)V(y) du. (9.195)

Dy J у2пОу

* - oo

5Если умножить выражение (9.193) на т„, затем продифференцировать произведение kmy по ту и сопоставить полученное выражение с (9.195), то можно убедиться в выполнении следующего равенства:

k\" «d (Л„ my)ldmy=:dmjdmy = dfpjdm.. (9. i96)



Соотношение (9.196) может быть использовано как для нахождения коэффициента АИ* вместо (9.195), так и для проверки правильности определения коэффициентов ф„, kg и Aj"*.

Пример 9.9. Ва входе нелинейного элемента, имеющего статическую квадратичную зависимость х - (р {у) = kt между входным и выходным сигналами, действует случайный снгиал Y{fjf = Шу+f(t), имеющий нормальный закон распределения. Определить эквивалентные статистические коэффициенты усиления фо и fet>.

1. Так как характеристика нелинейного элемента является четной, то в соответствии с (9.181) функция «рд равна

<P„ = m.,r=MX(01=M[fe{/(/)l=i=Mfem5,+ r(/))4 = - (m-bD„) =Ю„ (1-f m/D,).

2. Ha основании (9.196), дифференцируя полученное выражение для Фо, определяем коэффициент fef:

Пример 9.10. На входе нелинейного элемента типа идеального реле (рис. 9.27, а) с характеристикой

Г В при </>0:

.«=Ф(у) = В81еп =

1. -В при 1/<0

действует случайный сигнал Y {t) = Шу (1) + (t), имеющий нормальный закон распределения. Определить эквивалентные статистические коэффициенты усиления нелинейного элемента feo- i. fe?-

1. Определяем эквивалентный статистический коэффициент усиления по математическому ожиданию k„ по (9.193), т. е.

myV2nDy J Вводя обозначение

{у-ту)/Уо;г.. (9.197)



[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [ 76 ] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166]

0.0018