Главная  Нелинейные системы управления 

[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [ 81 ] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166]

На управление и фазовый вектор еще могут быть наложены ограничения в виде конечных соотношений - равенств, неравенств. Их в общем виде можно записать так:

u(oeu,. х(оех,. (10.2)

Здесь и X, - некоторые заданные множества, зависящие, вообще говоря, от времени, причем Uj s i?"" и Х s R", т. е. Ut - подмножество г-мерного пространства; Xf - подмножество п-мерного пространства. В (10.2) первое соотношение называется ограничением на управление, второе соотношение - ограничением на фазовый вектор или фазовым ограничением. Ограничения на управление и фазовый вектор могут быгь не разделены, и в общем случае они записываются в виде

(U (О, x(/))€V„V,

Краевые (граничные) условия - ограничения на фазовый вектор в начальный f„ и конечный tf моменты времени в общем виде можно записать так:

x(geXo,x(/)GX;. (10.3)-

Вектор х(о) называют левым, а вектор \(tf) - правым концом траектории. Краевые условия имеют вид (10.3), если ограничения на левый и правый конец трактории разделены В противном случае они записываются в виде (х(д,х())е Vo, VoCRn.

Критерий оптимальности, который является числовым показателем качества системы, задается в виде функционала •

У=У(и(0. х(0). (10.4)

Задача оптимального управления формулируется следующим образом: при заданных уравнении объекта управления (10-1), ограничениях (10.2) и краевых условиях (10.3) требуется найти такие программное управление u*(t) или управление с обратной связью и*(х(/), t) и фазовую траекторию х*(/), при которых критерий (10.4) принимает минимальное (или максимальное) значение. Дальше для определенности примем, что функционал (10.4) минимизируется. Задачу максимизации выбором нового критерия - -J всегда можно свести к за.-. : даче минимизации. Управления u*(t) и и*(х (t), f) и траектория x*(f) называются оптимальными. При решении. задач синте- > за оптимальных систем управления- обычно бывает достаточно найти оптимальное управление.



Примеры постановки задач оптимального управления.

1.Задачи оптимального управления летательным аппаратом (ЛА). Уравнение ЛА (объекта управления) в вертикальной плоскости

mv = p-\-q

или в проекциях на горизонтальную и вертикальную tj оси неподвижной системы координат

где m = + Отр {t) - масса ЛА; гпр it) - «реактивная» масса; V = (I, Ti) - скорость ЛА; р = (/>,, - реактивная сила; q = {q, q) - равнодействующая всех остальных сил (сила притяжения Земли, сила сопротивления воздуха и др.). Реактивная сила

р = -/77w, w = const,

где W = (wi, - относительная скорость отделяющихся частиц; w =j/iwi + wl - евклидова норма вектора w; гп = /Пр-секундный расход реактивной массы. Обозначая Ху = I; Хо = ц; Хз = i; х = j\\ щ = pjm; = pjm;

9i = gjfn; qz - qJtj уравнение ЛА можно записать в виде нормальной системы

Xy==Xs; X2=Xi, X3=Ui + 9i; X4=«2 + l

или в векторной форме

X = Ах + Ви + q.

В последнем уравнении х = 1

О О 1 0\

0 0 0 1

0 0 0 0

.0 0 0 0/

/о 0\

\0 1/


(10.5)

(10.6)

Отношение реактивной силы к массе ЛА принимается за управление. Траектория ЛА не должна пересекать земную поверхность, т. е. должно вьшолняться фазовое ограничение

х > 0. (10.7)



Задача 1 вывода ЛА в заданную точку фазового пространства за минимальное время. Пусть реактивная сила ограничена: р < Рп- Требуется вывести ЛА из фиксированной начальной точки х(4) = х" в фиксированную конечную точку х(/) = х за минимальное время. Эта задача является задачей оптимального управления с уравнением объекта (10.5), <10.6), фазовым ограничением (10.7), ограничением на управление

и I Wm=Pm/m. (10.8)

краевыми условиями х(4) = х". х( ) = х и критерием оптимальности J = tf - to, где to - начальный момент (будем считать его фиксированным); tf - конечный момент - момент времени достижения ЛА точки (не фиксирован).

Задача 2 вывода ЛА в заданное положение за минимальное время. При ограничении на управление (10.8) требуется вывести ЛА из заданной точки х (<„) = х" фазового пространства в заданное положение (xiff), xitf)) = {х{, х{ на вертикальной плоскости за минимальное время. В данной задаче левый конец х(о) фиксирован (т. е. положение и скорость • ЛА в момент to заданы), а правый конец х( ) не фиксирован, т. е. в момент tf положение ЛА задано, а на его скорость никаких ограничений не наложено. Эта задача оптимального управления отличается от задачи 1 только условием на правом конце траектории Xi{t,) = х\, xitf) = х{. В задаче 1 каждое из множеств Хо и X/ (см. (10.3)1 состояло из одной точки, в данном же случае множество состоит из одной точки, а множество X/ есть плоскость х = х{, х в четырехмерном фазовом пространстве.

Задача 3 перевода ЛА на максимальную дальность. В данном случае важно учитывать, что реактивная масса, или, что то же самое, начальная масса m(t = Шд, конечна. Так как

1и1 = я и = п lw/m.

то конечность реактивной массы накладьгвает следующее ограничение на управление:

jlu[d/ = A; Bi = \w\ln{mo/mf). (10.9)



[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [ 81 ] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166]

0.0016