Главная  Нелинейные системы управления 

[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [ 82 ] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166]

Ограничение такого вида называется изопериметрическим. Конечный момент tf определяется из условия xitf) = О (высота равна нулю). Задача оптимального управления формулируется следующим образом: при заданных уравнении объекта (10.5), фазовом ограничении (10.7), ограничении на управление (10.9), краевых условиях х(о) = х", x.{tf) = О найти управление, минимизирующее функционал J = -Xy{tf). В этом случае множество Хо состоит из одной точки, а множество X/ есть трехмерное пространство, определяемое соотношением = 0.

Задача 4 вывода ЛА на максимальную высоту. В данном случае также важно учитывать ограниченность реактивной массы. Задача оптимального управления формулируется точно так же, как и задача 3, но при краевом условии х(о) = = х" и критерии оптимальности / = -xitf). В этой задаче правый конец свободен: на него никаких ограничений не наложено. Множество X/ совпадает со всем фазовым пространством R".

Сделаем общие замечания. Реактивная масса, естественно всегда конечна, но тем не менее это ограничение не учитывалось при формулировке задач I и .2. Принималось, что для них. оно несущественно, т. е. не влияет на их решения. Точно так же принималось несущественным и не учитывалось ограничение на величину управления в задачах 3 и 4, хотя оно, естественно, всегда имеет место. Но в то же время в задачах 1 и 2 нельзя не учитывать ограничение на величину управления, так как если его отбросить, то оптимальное управление u*{t) получается нереализуемым: при ы-> оо максимальное значение u*(f) оо и У -> 0. Точно так же нельзя, не учитывать ограничение на реактивную массу (изопериметри-ческое ограничение) в задачах 3 и 4, так как в противном случае, как это ясно из физических соображений, существует бесконечное множество управлений, при которых J = -оо.

2. Задачи оптимального управления двигателем. Уравнение двигателя постоянного тока

........ : . /ф = 1пфФ-М,.. •• .• :

где / - момент инерции вращающейся части двигателя-Ф - угол поворота вала двигателя; if, - ток в якорной цепи; кф - конструктивная постоянная; .Ф - магнитный поток; Мс - момент сопротивления.



Используя обозначения

Ь =/гфФ , = ф, = ф. и и=УИд ,

его можно записать в виде

Xi ~х, Хг = Ьи- или в векторной форме

x-Ax + Bu+q, (10.10)

/0 1\

; А =

\Хг 1

.0 0,

Здесь для получения простой модели объекта, которая дальше часто будет использоваться, за управление принимается ток в якорной цепи. Но следует иметь в виду, что в действительности управляющим воздействием двигателя при управлении со стороны якор1юй цепи является напряжение на якоре и к приведенному уравнению моментов необходимо добавить уравнение для напряжения и тока якорной цепи. Поэтому примеры, связанные с моделью объекта (1.10), (1.11), являются чисто иллюстративными.

Задача 5 поворота вала двигателя на заданный угол без остановки за минимальное время. Сила тока в якорной цепи должна быть ограничена, иначе сгорят обмотки якоря. Задача оптимального управления формулируется следующим образом: при заданных уравнении объекта (1.10), (1.П), ограничении на управление

краевых условиях

х(д=х<, х,(д=х, (10.12)

найти управление, минимизирующее функционал J = tf -

Задача 6 поворота вала двигателя на заданный угол с остановкой за минимальное время. Задача оптимального управления формулируется так же, как и задача 5, но при краевых условиях

X (/о) - х»; X, (/,) - х1,; Хг (tf) =0. (10.1.3)



Задача 7 поворота вала двигателя на заданный угол за время Т при минимальном расходе энергии. Энергия пропорциональна интегралу от квадрата управления (силы тока). Так как постоянный множитель перед фупкционалсм ие влияет на решение вариационной задачи, за критерий оптимальности принимается интеграл

• .

где tg и /; фиксированы, t, - f„ = Т. Ограничение на управление не учитывается. Краевые условия совпадают: а) с условием (10.12), если двигатель после поворота на заданный угол не нужно останавливать; б) с условием (10.13), если двигатель после поворота на заданный угол нужно остановить.

Клдссификация задач оптимального управления

1. По виду ограничения различают за.5ачи оптимального управления:

а) классического типа, когда ограничения задаются в виде равенства

(х, U, /) ==0, А = 1. 2.....т;

б) неклассического типа, когда ограничения задаются в виде неравенств

Ф(х, U,/ХО, А: = 1,2,..., т. (10.14)

К классическому типу относятся также изопериметричес-кие задачи, т. е. задачи с изопериметрическими ограничениями:

. j ".ОЛ-б,-, /=1,2...../. (10.15)

Введением дополнительных переменных от изопериметриче-ских ограничений всегда можно избавиться. Достаточно вмес-, то изопериметрических органичений (10.15) в условие задачи ввести следующие уравнения и краевые условия:

Xn+i fn+) (X. u, t); Xn+j (g = 0; x„+j (t,) -bj, / - 1. 2......1.



[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [ 82 ] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166]

0.0012