Главная  Нелинейные системы управления 

[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [ 83 ] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166]

Формально задачи неклассического типа введением дополнительных переменных можно преобразовать к задачам классического типа. Действительно, ограничения (10.14) можно заменить ограничениями типа равенств

Фь(х, U,/) + ы;+й==0, k=l,...,m.

Задачи оптимального управления неклассического типа могут иметь ограничения вида

J/„+,(x,u,Orf/<C„ s = l,2,...,/j.

Введением дополнительных переменных эти ограничения могут быть заменены соотношениями

•«n+«=/n+s(x, U, О, >:п+Ло)=0; Xn+s{tf)C, s=\,2,...,p.

Примерами задач классического типа являются задачи 3, 4 и 7, некласснческого типа - задачи 1, 2, 5 и 6.

2. По виду краевых условий различают задачи:

а) с фиксированными (закрепленными) концами, когда каждое из множеств и X/ состоит из одной точки 1х(/о) = = х", x{tf) = xf, х" и х1 - заданные точки];

б) с подвижным правым концом (X/ состоит более чем из одной точки), с подвижным левым концом (Хо состоит более чем из одной точки), с подвижными концами (оба конца подвижны);

в) со свободным правым концом (Х совпадает со всем фазовым пространством, т. е. на правый конец никаких ограничений не наложено).

В рассмотренных выше примерах задачами с фиксированными концами являются задачи 1 и 6, с подвижным правым концом - задачи 2, 3 и 5, со свободным правым концом - задача 4.

3. По времени начала и окончания процесса различают задачи:

а) с фиксированным временем, когда начальный /<, и ко- нечный tf моменты фиксированы;

I б) с нефиксированным временем, когда один из momcvitob времени tg или tf не фиксирован.



4. По критерию оптимальности различают:

а) задачу Больца; при этом критерий имеет вид

У = 0 [X Со). X (/,). (о. t,\ + j (X. u. t) di;

j Ux.ii.t)di;

6) задачу Лагранжа; при этом критерий имеет вид

в) задачу Майера; при этом критерий имеет В11д -J =§ol{to). xit,).to.t,].

Задача Майера в частном случае, когда функционал имеет вид / = g„(x{tf), ti), называется задачей терминального управления; когда функционал имеет вид J = (tf - t) - задачей максимального (оптимального) быстродействия. Сформулированная выше задача 7 является задачей Лагранжа, остальные задачи - задачами Манера, причем задачи 1, 2, 5 и 6 являются задачами максимального быстродействия.

Задачи Больца, Лагранжа и Майера эквивалентны в том смысле, что путем преобразования переменных можно от одной задачи перейти к другой.

§ !0.2. Метод классического вариационного исчисления (метод множителей Лагранжа)

Задачи с закрепленными концами "

и .-фиксированным временем

Если концы закреплены и время фиксировано, то в классическом случае задачу оптимального управления в общем виде можно сформулировать как.следующую задачу Лагранжа:

х,-/,-(х.и.О. t-l.S.....п;

ср;(х, U, О = 0. Л = 1,1,..-.. , .v

Xi(to)-x4\ xt(tf)-=x\. 1=1.2.....n;

/ = j /о(х, u. /)cf/-min.



Предполагается, что функции /; (х. и. /), j = О, 1..., п. и (р„(х, U, t), k 1,2, .... /, являются непрерывными и дифференцируемыми по всем сЁоим аргументам, управление v(t) принадлежит классу кусочно-непрерывных функций, а траектории х(/) - классу кусочно-гладких функций.

Напомним, что функция и(/) называется кусочно-непрерывной на 10. /1. если она непрерывна всюду па [tg, tj], за исключением конечного числа точек, где она имеет разрывы первого рода. Функция х(/) называется кусочно-гладкой на Itg, tf], если на {f„, tf] она сама непрерывна, а ее производная кусочно-непрерывна.

Управление и(/) из класса кусочно-непрерывных функций назовем допустимым управлением, а траекторию х() из класса кусочно-гладких функций - допустимой траекторией. Пару (u{t), х(0) назовем допустилюй, если допустимыми являются и(/) и x(f).

Уравнения Эйлера. Рассмотрим сначала простейшую задачу классического вариационного исчисления:

Jii/)- \ [o(y,y.t)dt-ex{r, (10.16)

у(о)=г/°. y{t,)-y>. . (10.17)

Пока для простоты будем считать, что y{i) является скалярной функцией и принадлежит классу СЧКо. непрерывно дифференцируемых функций на интервале tj\. Экстремум ищется среди функций указанного класса, удовлетворяющих заданным краевым условиям. Такие функции будем называть допустимыми функциями или допустимыми точками (имеется в виду точка в функциональном пространстве).

Пусть экстремум достигается в допустимой точке у* (/). Точка y{t) = y*(t) -Ь Et/(/), где е - число, будет допустимой, если у{{) t С(/о. /1) и выполняются краевые условия

У(д=0; y{t;)0. (10.18)

Прн каждом фиксированном уЦ) получаем функцию от числового аргумента

Ф U) - J (i/* + ty) - j /о iy* Л- г~у, у* -i- Еу. () dt.



[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [ 83 ] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166]

0.0011