Главная  Нелинейные системы управления 

[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [ 84 ] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166]

которая, очевидно, достигает экстремума при 8 = 0. Поэтому согласно теореме Ферма, производная

Ф; (0) = f [Пу {у*. У*, t) у + fly {у*, ,t)]dt=0. »

Интегрируя второе слагаемое по частям и учитывая краевые условия (10.18), получим

Фе(0)=] [foyiy*,yM)~-ro-y{y*,y,t)\ydtO. (10.19) h

Оэгласно основной лемме вариационного исчисления, последнее равенство возможно при произвольной y(i) СЦЦд, tf]), У (to) ~ y{tf) = О, если только

nyiy*,y*J)-~royiy, y*,f)=o.

(10.20)

Итак, если функция y*{t) доставляет экстремум функционалу (10.16), то она удовлетворяет уравнению (10.20), которое называется уравнением Эйлера. Допустимая функция, удовлетворяющая уравнение Эйлера, называется экстремалью или стационарной точкой задачи (10.16), (10.17). Следовательно, решения задачи (10.16), (10.17) являются экстремалями; обратное в общем случае неверно.

Как легко проверить, все выкладки остаются справедливыми и в случае, когда y{t) - векторная функция {(р XI) - матрица). При этом уравнение (10.20) является векторным. Покажем, как из равенства (10.19) получается векторное уравнение Эйлера (10.20).

По определению, производная от скалярной функции /o(z) по векторномуаргумеиту z = (z, ZpY есть вектор-строка

Гог -(foz,,..; /огр).

Напомним, что индекс Т обозначает операцию транспонирования. Перемножив под интегралом (10.19) вектор-строку на вектор-столбец по правилу перемножения матриц, получим

Г"

ФИО)- 2

1= I

yidt=0.



Это равенство должно выполняться при произвольной y(t) £ G C([o. 1). в частности когда все ее компоненты, кроме одной, равны нулю: у]Ф О и t/i = О при всех i Ф /. Полагая, что / пробегает значения от 1 до р. из последнего равенства получим систему уравнений

откуда в соответствии с основной леммой вариационного исчисления найдем

Я----/о. = 0. il,2....,p. (10.21)

Эта система представляет собой скалярную форму записи векторного уравнения (10.20).

Уравнения Эйлера-Лагранжа. Рассмотрим задачу Ла-гранжа:

Ф(г,г.О=0. t = I,2.....р; (10.22)

Фй(г,/)=0, fe=1.2...../; (10.23)

z(g=z», z(;)=z/; (10.24)

/= f 0„(z,z, Orf->extr, U0.25)

где z - вектор столбец размера s; = 0, 1, .... p), Фк =

= 1,2,...,/) - дифференцируемые no всем своим аргументам функции. Эта задача отличается от простейшей вариационной задачи тем, что на аргументы функционала помимо краевых условий наложены дополнительные ограничения [связи (10.22) и (10.23)1 и они уже не являются независимыми. Для получения необходимого условия воспользуемся приемом Лагранжа П1.

Составим функцию:

L (Z, Z. X. /) = 2 я})..ф; + 2 ft Фй +оФо-

где "фь i ~ 1. 2, р - функции времени; (/г = 1.2, I) и % - константы.



Эта функция называется функцией Лагранжа, а функции = 1, 2.....р) я числа (/е = 1, 2, .... О и о- множителями Лагранжа. Прием Лагранжа (в настоящее время он строго обоснован) состоит в том, что задача (10.22)-(10.25) преобразуется в простейшую задачу вариационного исчисления:

~ :

у = j L (гг. гг. я]), К t) dt -> extr; z (/<,) = 2«; z (ij) = z/.

Очевидно, последняя задача имеет смысл, если множители Лагранжа не равны одновременно нулю. Под равенством нулю множителей ipjd" = \, 2, р), являющихся функциями, понимается их тождественное обращение в нуль. Кроме того, заметим, что если ijo = О, то функционал / не зависит от исходного функционала. Этот случай назовем особым. Важнейшим является неособый случай, когда iJ),, =5 0.

В преобразованной задаче роль независимого аргумента играет вектор у = (z, ijj, X), а роль подынтегральной функции - функция Лагранжа. С учетом того, что функция Лагранжа не зависит от производных iji и %, уравнения Эйлера принимают вид 1см. (10.21)]

Ц--Ь.= 0, £ = l,2,...,s; (10.26)

Li. = 0, /=1,2,....р; U=0, k = \,2,...,l. (10.27)

Уравнения (10.27), как легко проверить, совпадают с уравнениями (10.22) и (10.23), поэтому достаточно ограничиться уравнениями (10.26) и решать их совместно с уравнениями (10.22) и (10.23) при краевых условиях (10.24). Уравнения (10.26) называются также уравнениями Эйлера-Лагранжа.

Вернемся теперь к задаче оптимального управления. Приведем ее,несколько видоизменив запись уравнений объекта:

/,.(x,u.O-Xi=0, i = l,2,...,n; (10.28)

ФЛх,и,0=0, ft = 1,2,...,/; (10.29)

Xi (g =хЧ; Xi (ti) xl i = 1,2,..., n; (10.30)

•/= f/o(x,u, Orff->niin. (10.31)



[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [ 84 ] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166]

0.005