Главная  Нелинейные системы управления 

[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [ 86 ] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166]

особенности появляются из-за того, что в силу подвижности граничных точек их также нужно варьировать. Опять все выкладки будем выполнять, предполагая, что y{f) принадлежит к классу гладких функций: y{f) £ C(\to, tf]).

Пусть экстремум достигается в точке y*{t). При произвольной фиксированной точке y{t) функционал

J=go\y4to) + 4ito), y*Uf) + y{tf)i

+ h(y*-W, У* + гy,t)dtФ{e)

является функцией от числового аргумента е. Эта функция до стигает экстремума при е = 0.-Поэтому по теореме Ферма

Фе(0)

Ф Uo)

y(t,) +

dy{if)

Интегрируя по частям второе слагаемое под интегралом получим •

e{0)=-y(t,) + -:yitf) + nyy / + ду {to) оу (tf) („

Функция y*{t) должна доставлять экстремум функционалу J при фиксированных граничных точках y{to) = y*{t и y{tf) = = y*(tf), поэтому оиа должна удовлетворять уравнению Эйлера

-01/

С учетом этого уравнения имеем

I Sy(tf)



в силу произвольности и независимости y{tn) и y{tf) из последнего равенства получаем соотношения

которые называются условиями трансверсальности. Если y{t) = d/iif) Ур(О) - вектор, то условия трансверсальности в скалярной форме принимают вид

f 1 - So . f go о г,

ЧU.,. (/„) у1 ttf ду,itf) • -

Уравнения Эйлера в скалярной форме были уже приведены (см. (10.21)]. Итак, решение вариационной задачи с подвижны-мы концами кроме уравнений Эйлера должно удовлетворять условиям трансверсальности.

Получим необходимые условия оптимальности для задачи оптимального управления:

Xf=A-(x, U, 0. i=1.2,...,n; (10.36)

Фй(х, u, 0=0, fe = 1, 2,...,/; (10.37)

gj [X (g, X (tf)] = 0, / - 1, 2.....<7 < 2n; (10.38)

= go [X doh X (tf)] + \ fo{x,u,t)dtmiu. (10.39)

Граничные условия (10.38) предполагаются независимыми, функции gi[x(g, х( )], i =0, 1, q, - непрерывными и дифференцируемыми по всем своим аргументам. На остальные функции накладываются такие же требования. Как и в случае задачи с фиксированными концами. Используя прием Лагранжа, преобразуем эту задачу в простейшую задачу Больца:

/ = G [X (д, X (tf), V] + J L (X (О, X (О, U (О, (О, к) dt min,

« = о



Уравнения Эйлера-Лагранжа для этой задачи совпадают с уравнением (10.32) или (10.33) и (10.34). С учетом равенств -t = Lj , i - \, 2, п, условия трансверсальности принимают вид

*«--- * ад-izilr

Отдельные координаты граничных точек могут быть фиксированы. Соотношения, определяющие эти координаты, в выражение для G не включаются, и так как при определении необходимых условий они не варьируются, то в условия трансверсальности не должны входить соотношения, содержащие частные производные по этим координатам; их из (10.40) нужно исключить. В частности, если начальная точка фиксирована, т. е. фиксированы все координаты точки х(/е), то условия трансверсальности (10.40) принимают вид

i(tf)=dG/dxati), i = l,2,...,n.

Если часть координат точки x{tf) также фиксирована, то в последнем условии i пробегает только значения индексов нефиксированных координат.

Правило множителей Лагранжа для задачи с подвижными концами и фиксированным временем. Если допустимая пара (u{t), x{t)) является решением задачи (10.36)-(10.39), то су-ш,ествуют такие не равные одновременно нулю мнооюители Лагранока, что зта пара удовлетворяет уравнениям Эйлера- Лагранока (10.33), (10.34) и условиям трансверсальности (10.40).

Если управление терпит разрыв, то решение (и(/), х(0) должно удовлетворять уравнениям Эйлера-Лагранжа в точка непрерывности управления. В угловых точках (в точках разрыва управления) должно выполняться условие Вейерштрасса-Эрдмана (10.35).

Таким образом, чтобы получить решение задачи (10.36)- (10.39), нужно решить уравнения (10.36) и (10.37) совместно с уравнениями Эйлера-Лагранжа при краевых условиях (10.38) и условиях трансверсальности (10.40). Этих соотношений достаточно, чтобы определить все неизвестные величины.



[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [ 86 ] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166]

0.0012