Главная  Нелинейные системы управления 

[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [ 87 ] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166]

Пример 10.2. Рассмотрим задачу

i,e=.v2, х = и; .1С, (0) = .!Г2(0)=0, 1

Эта задача отличается от задачи, рассмотренной в примере 10.1, только тем, что правый конец не закреплен: координата (I) не фиксирована. Поэтому уравнения Эйлера-Лагранжа и их решения получаются такими же, что и в примере 10.1:

Ф1 = С,; + u = il).j/2 = (-C,/-f-C2)/2.

Функция с = о и условия трансверсальности принимают вид

фг (1) = дО/дх (1) = 0.

С учетом этого условия имеем фг = Q (• - 0. " = Q (I - i)/2. Подставив полученное выражение для управления в уравнения объекта и решив их при заданных краевых условиях, получим:

«*(0=3(1-0; <(0=-"+Х= xi{i)=-Yt+3t.

Задача с нефиксированным временем. Рассмотрим задачу с подвижными концами. В условие задачи с нефиксированным временем в отличие от задачи (10.36)-(10.39) с фиксированным временем могут явно входить начальные и конечные моменты времени. Задача оптимального управления в этом случае формулируется следующим образом:

Xifi{x,u,t), i = l,2,..., п; (10.41)

Фй(х,и,0--0, /2 = 1,2.....I; (10.42)

g, [X (g, X (tf) g If] =0. /=-1,2.....q; (10.43)

J =go[x(g, X(,), tg, tf] + j/o(x,u ,t)dt-min. (10.44)

Очевидно, если допустимая пара (u*{t), x*(i)) при t Ito, tf] является решением задачи (10.41)-(10.44), то она будет решением этой же задачи при фиксированном времени: t = Ц, tf = . Поэтому решение задачи (10.41)-(10.44) должно удовлетворять уравнениям Эйлера-Лагранжа и условиям трансверсальности, причем условия трансверсал1зНости дополня-



ются соотношениями, обусловленными вариацией начального и конечного моментов времени, и принимают вид [13]

*ад-i{t,)=-, 11,2,..., п; (10.45)

я<=,.=ао/а/е H\i,~dG/dt,. (ю.щ

Условия (10.45) совпадают с условиями (10.40). Дополнительными являются соотношения (10.46). Их приведенным выше элементарным способом не удается получить.

Задачи с подвижными концами и нефиксированным временем являются наиболее общими. Из них как частные случаи получаются задачи с фиксированным временем и закрепленными или неподвижными концами.

Правило множителей Лагранжа формулируется точно так же, как и в случае задачи с фиксированным временем. Приведем его в несколько иной, чем выше, формулировке.

Правило множителей Лагранжа для задачи с подвижными концами и нефиксированным временем. Для того чтобы допустимая пара (ii{f), x{t)) была решением задачи (10.41)-(10.44), необходимо, чтобы существовали такие не равные одновременно нулю множители Лагранока, что эта пара удовлетворяет уравнениям Эйлера-Лагранжа (10.33), (10.34) во всех точках непрерывности управления и условиям трансверсальности (10.45), (10.46). В точках разрыва управления (если таковые суи\ествуют) выполняется условие Вейерштрасса-Эрдмана.

Пример 10.3. Дано: уравнения объекта

Xi=X2; Х2 = и;

изопериметрическое ограничение J udt = b; краевые условия Ху (0) = = (0) = 0; Ху (t,) = d; х (tf) = 0.

Требуется определить оптимальное по быстродействию управление; J = tf min.

Преобразуем изопериметрическое ограничение:

.V3=u2. .з(0) = 0: X3(t,) = b.

Функция G = -tf и условия трансверсальности записываются следующим образом [см. (10.46)]:

H\if-dGldtf\.



Гамильтониан и уравнения Эйлера-Лагранжа имеют следующий вид: W = il), .Vj + ipaW + ipsU;

фз = - dHldxs = О; дН!ди = фо + и = О. Из последних уравнений имеем:

= Ctt~Cb, С4=С,/(2Сз), С5 = С2/(2Сз).

Подставив полученное выражение для управления в исходные уравнения и решив их с учетом краевых условий, получим

Следовательно, правилу множителей Лагранжа удовлетворяет управление

= - -f-f ; tf = yi2d4b.

Здесь, как и в примерах 10.1 и 10.2, предполагается, что решение задачи существует, поэтому единственное управление, удовлетворяющее правилу множителей Лагранжа, будет оптимальным. В данном примере условия трансверсальности при определении оптимального управления не использовались. Они потребовались бы, если нужно было бы определить множители Лагранжа.

§ 10.3. принцип максимума Понтрягина. Условие нормальности. Теорема об п интервалах. Вырожденные и особые задачи

Во многих прикладных задачах на управление накладывается ограничение типа неравенства. Часто оптимальное управление в таких задачах имеет разрыв. Метод множителей Ла -гранжа не позволяет определить число и местоположение точек разрыва, и поэтому в этих случаях он не позволяет находить оптимальное управление. Такие задачи эффективно решаются с помощью принципа максимума Понтрягина.



[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [ 87 ] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166]

0.0017