Главная  Нелинейные системы управления 

[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [ 90 ] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166]

жество) за минимальное время. Разработка принципа максимума началась с решения этой задачи. Она является частным случаем задачи с подвижными концами и нефиксированным временем. Если положить tg = О, то критерий оптимальности имеет вид J - tf, поэтому в данном случае gg - tf, fg = О

и функция Понтрягина Н = ifi. Если концы закреплены,

тоС = -gg= -tf и условия трансверсальности принимают вид Я 1,=, = -dGldt, = 1.

Пример 10.5. Решим задачу

Xi = Xi; x-iu; \и\ < о; *,(0) = Х2(0) = 0; x,(<,)=d>0; x{t,) = 0; J = tf --> min.

Гамильтониан, сопряженные уравнения и их решения имеют такой вид: Н = il)iX2 + фаИ; 1 = 0; фг = - = С,; ф = -C,t + Cj.

Из принципа максимума

max W = i]), Ха + max фа и и < а 1и1< а

получаем ы* = а sign фг (/). Так как фг (О - линейная функция, то на интервале О t tf функция фа (О может изменить знак не более одного раза, причем из условия задачи (см. граничные условия) ясно, что вначале ы* = а или иа всем интервале О t tf

а при а < / < <i; -а при tj t tf.

Подставив это выражение в уравнения объекта и решив их, получим

o/ + Ci при 0<, f atV2 + Cit + C3 прк Otti;

- at+Ci прк tittf-, [-at/2+Cгt+C прк tittf

Из краевых условий на левом конце следует Q = О и Cj = О, на правом конце Са = atf, = -atp2 + d. В силу непрерывности фазовой траектории в точке S ~ t

ati= -ati + aif. a/f/2= - a/f/2-t-a + d -a/?/2,

откуда /l = и tf = 2yd/a.

Таким образом, оптимальное управление

п при О < / < l/d/a; -о при Vd/a < t < 2 Vd/a.



Рассмотрим задачу максимального быстродействия, когда объект является линейным (описывается линейными дифференциальными уравнениями):

Хг= 2 "h/<+ S I = 1.2,..., л;

fc=i /=1

. ajujj; aj<:0, p>0, / = 1, 2,..., r; x,(g=xf; x,-(i)=-0, i = l. 2,..., n; J=/-rnin.

(10.56)

Эта задача называется линейной задачей максимального быстродействия. В матричной форме уравнения объекта принимают вид

x = Ax + Bu.

Предполагается, что эти уравнения являются уравнениями в отклонениях и поэтому конечное состояние, в которое нужно перевести объект, есть начало координат {x(tf) = 0). Функция Понтрягина

Я = 7(Ах + Ви) =2 f i ci-,x,+ 2 v"/ • i=i \k=\ /=1 /

где = (ij),.....ifn) подчиняется сопряженному уравнению

или сопряженной системе уравнений

ф == --дН/дхс, f = l,2,...,ft.

Согласно принципу максимума, оптимальное управление находят из условия

тпахЯ= S S «гьп + тах 2 £ 2 uU 1 = 1 /1=1 пи,-=1 /=1

max 2 S •iJ = il max («у оФу U = {u:a><«j<P;, /=1,2.....r}.



Если выполняется так называемое условие нормальности (см.

ниже), то сумма У fcivii),- обращается в нуль только в изолиро-.= 1

ванных точках. В этом случае из последнего тождества следует, что координаты и/ (/ = 1.....г) оптимального управления

U* кусочно-постоянны и принимают крайние значения aij или

aj при biji<0; »= 1

Р/ при 2 &;;Я1)г>0, /=1,..., г. 1=1

В частном случае, когда ограничение имеет вид < а/,

и} =asign 2 bij-i, /=1,2,..., г. 1= 1

Условие нормальности. Введем в рассмотрение (п X /г)-мат-рицы

М[/) = [В,.(АВ),.... (А"- В),.), /= 1,2,..., г,

где Bj-, (АВ).....(А"- B)j есть у-е столбцы матриц В, АВ,...

...,А"-В соответственно.

Для объекта х = Ад; -f Ви выполнено условие нормальности или условие общности положения [4, 12], если матрицы М [/] (при / = 1, г) невырождены, т. е. их столбцы линейно независимы, или det М [/] Ф О (при / = 1, г). Объект, для которого выполнено условие нормальности, будем называть нормальным.

Пример 10.6. Для системы

i = X2 + «i. Х2 = «1-1-«а

условие нормальности выполнено. Действительно,

A=(gi). В=(1?), АВ=( )

и матрицы

м m=[i i] .м[2]=[?

невырождены.



[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [ 90 ] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166]

0.0017