Главная  Нелинейные системы управления 

[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [ 92 ] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166]

Задачи с несколькими ограничениями. С увеличением числа ограничений, при которых находятся оптимальные управления и траектория, как правило, решение задачи усложняется. При наличии нескольких ограничений может оказаться, что при их одновременном учете задача аналитически .неразрешима, тогда как при их частичном учете задача легко решается. В подобных случаях полезно начинать решение с упрощенных задач, которые получаются из исходной при отбрасывании каких-либо ограничений. В результате их решения может выявиться следующее;

1. Найденные оптимальные управления и траектория какой-либо упрощенной задачи удовлетворяют неучтенным ограничениям. Это означает, что временно не учтенные ограничения являются несущественными в том смысле, что они не влияют на решение задачи и могут быть совсем отброшены. В этом случае найденное решение упрощенной задачи и будет решением исходной задачи.

2. Оптимальные управление и траектория ни одной упрощенной задачи не удовлетворяют неучтенным ограничениям; эти ограничения являются существенными и задачу нужно решить заново с учетом последних. Но и в этом случае решения упрощенных задач бывают полезными, так как они могут «подсказать» решение исходной задачи.

пример 10.8. Рассмотрим уравнение двигателя x=Xi, хг=ы при огра-. ничениях \и\ а, ] udt Ь. Последнее соответствует одновремен-

ному ограничению по току якоря и по иагреву. Пусть требуется определить управление и* (<), переводящее вал двигателя нз начального состояния в конечное за минимальное время прн краевых условиях х (0) = X, (0) 0, (tf) = d > 0. (tf) = 0.

Нетрудно убедиться, что в этой задаче не могут быть несущественными оба ограничения, поэтому простейшее упрощающее предположение - это допущение, что существенным является только одно из данных ограничений.

Предположим, что таким ограничением является первое. Второе пока в расчет ие будем принимать. Тогда рассматриваемая задача совпадает с примером 10.5 н оптимальное управление

при О < / < tf/2; при tf/2 </=.?T/d7.

Вычислим интеграл в левой части второго ограничения:

Ju*" (t)dt==dtf-2ayad.



Принятое допущение правомерно если 2a[/ad < ft. В противном случае необходимо при решении учитывать второе ограничение. Пусть, действительно, последнее неравенство не выполняется. Тогда естественно предположить, что при оптимальном управлении интеграл примет максимально возможное значение, поэтому неравенство в ограничении можно заменить равенством. Решим эту задачу без учета первого ограничения. Решение задачи в такой постановке было получено в примере 10.2: оптимальное управление

Это выражение принимает по модулю максимальное значение в начальный и конечный моменты

max и* (О = ы*(0) = и* (tf) = 6d/tf = 3 V7

и найденное управление будет удовлетворять ограничению ы < а, если зУ bVlSd < а. Если это неравенство, как и ранее полученное неравенство, ие выполняется, то необходимо учитывать оба ограничении.

Итак, пусть оба ограничения существенны. В этом случае интегральное ограничение приобретает вид равенства

J и" dt=b

и исходную задачу неклассического типа можно преобразовать к следующей задаче классического типа:

Xi = Xi\ Хг = и; хз = и; и-а-\-г = 0\

Дi(0) = Xi(0) = Хз(Щ = 0; x,(tf) = d> 0;

x-i.(tf) = 0; X3(tf) = b; J = tf min.

Решим эту задачу методом множителей Лагранжа. Выпишем гамильтониан и уравнения Эйлера-Лагранжа:

1 = 0; 2= -Фи Фз = 0; дН/ди = фа -\- 2фз" + 2ки = 0; дН/дг = 2Яг О.

Из этих уравнений следует: Ф1 = фа = -Ct + С; фз = Сд. Если Я О, то из последнего уравнения Эйлера - Лагранжа г = О и в силу уравиеиия ограничения и = ыО = ±а, т. е. в этом случае оптимальное управление, как и оптимальное управление в упрощенной задаче, когда не учитывается интегральное ограничение, принимает только крайние значения. Из условия стационарности (бЯ/бы = 0)

и = -ф2/[2 (фз + = (Ci<- С2)/[2(Сз + К)]. и если Л. = О, то

ы=4Г(2) = С(/-С где С, = С1/(2Сз). Са= С2/(2Сз).

Управление ы() имеет такой же вид, что и оптимальное управление "И в упрощенной задаче, когда первое из двух ограничений не учитывается.



Таким образом, оптимальное управление и* состоит из управлений вида и = а, и - -а и и = 1г(), причем с увеличением а длины интервалов, на которых ы* = а или и* = -а, должны уменьшаться. Эти интервалы должны выродиться в пустое множество, когда а настолько велико, что ограничение ы а становится несущественным, при этом на всем интервале [О, if] оптимальное управление и* = - = и(К И наоборот, с ростом Ь должен выродиться в пустое множество интервал, на котором и* =. ы(), так как в этом случае начиная с определенного значения b становится несущественным интегральное oirpa ничение. Как отмечалось, управление и() принимает по абсолютной величине максимальное значение, и оно прежде всего может не удовлетворять ограничению ы < а иа концах интервала [О, tf\. Из изложенного следует, что оптимальное управление

а при О i < t,;

6d(l -2t/tf)/tf при fit<t2;

при ?2 < < tf,

где 1, tz и tf определяются из краевых условий. Дальнейшие вкладки предлагаем проделать самостоятельно в качестве упражнения.

Вырожденные задачи

Методы классического вариационного исчисления и принцип максимума не всегда позволяют найти оптимальное управление. Существуют задачи, в которых необходимые условия оптимальности, даваемые этими методами, выполняются тривиальным образом и им помимо одного оптимального управления удовлетворяет множество других управлений, среди которых могут быть как оптимальные, так и неоптимальные управления. Задачи этого класса иазътакуг вырожденными. К числу вырожденных относятся линейные задачи, для которых условия общности положения не удовлетворяются.

Если обнаруживается, что внутри интервала tf] имеется конечный отрезок времени [ti, t] такой, что на нем вдоль соответствующих управлению и* (t) траектории х* {t) и сопряженной функции Tf* (t) выполняются тождества

аЯ (tJj*, x*, U*, О/би = О, dH{*;\*,u*,t)/duO (10.58)

Е (ч})*, x*, U*, u,t)=H (ч})*, x*, U*. О - Я (ч})*, x*, U, О О, (10.59)

то оптимальное управление называют вырожденным в классическом смысле в случае (10.58) или вырожденным в смысле принципа максимума в случае (10.59). Вообще говоря, условия (10.58) и (10.59) не всегда выполняются одновременно.



[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [ 92 ] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166]

0.1325