Главная  Пленочные термоэлементы 

[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [ 14 ] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76]

учесть ангармонизм колебаний, то сама упругая волна создает пространственные колебания плотности и упругих постоянных среды, т. е. неоднородности, на которых может рассеяться другая волна. Последний механизм рассеяния присутствует всегда и его роль с повышением температуры увеличивается. Начиная с некоторой температуры, зависящей от размеров кристалла, степени его совершенства и чистоты, этот механизм является доминирующим. Рассмотрим некоторые существенные особенности рассеяния фононов на фононах.

Энергия колебаний кристалла может быть представлена в виде разложения в ряд по степеням отклонений атомов от равновесных положений. Гармоническому приближению соответствует сохранение в этом разложении членов не выше второй степени. Чем больше амплитуда колебаний (чем выше температура), тем большим становится вклад членов разложения более высокого порядка. Взаимодействие колебаний (фононов) друг с другом можно описать только при учете этих (ангармонических) слагаемых. Учет членов разложения третьего порядка по смещениям атомов приводит к так называемым трехфононным процессам: распаду одного фонона (kiCOi) на два (kgOg), (kgOg) или возникновению одного фонона (kcoi) при исчезновении двух других (kg0)2) и (кдШз).

При этих процессах должны выполняться законы сохранения энергии

Пщ (ki) = Пщ (kg) + ЙС03 (кз) (1.191а)

и волнового вектора

ki - kg + кз + 2яО, (1.1916)

где G - вектор обратной решетки.

Последнее слагаемое в (1.1916) возникает при учете дискретности среды и периодичности ее структуры, т. е. в кристаллах; в однородной сплошной среде оно отсутствует.

Все взаимодействия между фононами в кристалле можно разделить на два типа. Первый - так называемые нормальные процессы, при которых суммарный волновой вектор kg + kg лежит в пределах первой зоны Бриллюэна. Эти процессы, как показал Пайерлс [22], сохраняют полную энергию и импульс фононной системы и не приведут к затуханию направленного теплового потока, даже если убрать градиент температуры, его.вызвавший, что соответствует бесконечной теплопроводности. При процессах второго типа сумма kg + kg выходит за пределы первой зоны Брил.-люэна. И для приведения ее в эту зону необходимо добавить вектор 2jtG. При таких взаимодействиях (процессах переброса, или [/-процессах, по терминологии Пайерлса) полный импульс фононной системы не сохраняется, тепловой поток затухает, теплопроводность становится конечной.

Сказанное выше не означает, что нормальные процессы не влияют на формирование функции распределения. Сохраняя полный



импульс фононной системы, они перераспределяют его между различными типами фононов.

Можно показать, что при наличии только нормальных процессов после снятия внешнего возмущения (градиента температуры) установилось бы распределение вида

iVk (X) - {ехр [П (сок - Щ/коТ] - iy\

которое совпадает с равновесным, если рассматривать фононный газ в системе координат, движущейся со скоростью К относительно кристалла. Таким образом, X представляет собой скорость направленного движения фононного газа с сохраняющимся при столкновениях суммарным волновым вектором.

В приближении времени релаксации скорость изменения Лк за счет нормальных процессов можно записать в виде

(iVk/aOcT = - (iVk - iVk (?.))/Тн. (1.192)

Переход от Лк (X) к iVk, т. е. к равновесному распределению, связан с процессами рассеяния, при которых суммарный волновой вектор не сохраняется. Это могут быть процессы переброса, рассеяние на границах, на дефектах. Обобщенно их называют резис-тивными.

Полная скорость изменения с учетом нормальных и резис-тивныХ процессов равна

(iVk/aOcT = - (iVk - iVk (>.))/тн - (iVk<3.) - Nl)/T.

Связь между полным временем релаксации, входящим в (1.184), и временами релаксации для нормальных (тн) и резистивных (тр) процессов в общем случае сложная. Только при условии, что Тр (со) = const, получаем простое соотношение г = Тр, т. е. нормальные процессы не влияют на теплопроводность. В остальных случаях вызываемое ими перераспределение фононов по частотам влияет на интенсивность резистивных процессов. Что касается последних, то в первом приближении (не учитывая их взаимного влияния) полную частоту резистивного рассеяния представляют в виде сумиц парциальных частот

ч = Ъч\- (1.193)

Поскольку частотные и температурные зависимости Тр для разных механизмов рассеяния различны, их относительный вклад в тепловое сопротивление решетки изменяется с температурой. Рассмотрим по отдельности некоторые из них.

Рассеяние фононов на фононах. Длинноволновые фононы, волновой вектор которых много меньше размеров зоны Бриллюэна, не могут непосредственно участвовать в процессах переброса. Релаксация импульса таких фононов осуществляется в два этапа: сначала они передают импульс с помощью нормальных процессов коротковолновым фононам, а затем последние с помощью про-



цессов переброса передают его решетке, т. е. всему кристаллу как целому. При низкой температуре (Т < бр) количество коротковолновых фононов мало: Л/к ехр (-Йсок/о)- Наименьшая энергия фононов, которые могут участвовать в процессах переброса, приблизительно равна половине максимальной энергии сотах = qQi) (осли говорить об акустичоских ветвях). Поэтому при низкой температуре время релаксации меняется по закону, близкому к Тф.ф ехр (6/2Г). При высоких температурах для всех фононов JVk Г, поэтому интенсивность как нормальных процессов, так и процессов переброса растет с температурой по более медленному степенному закону. При температурах выше де-баевской рассеяние фононов на фононах описывается полным временем релаксации Тф.ф Тоу. С помощью (1.186) находим, что при этом <т> Г". Поскольку при Г > 0л с (Т) const, иа (1.185) следует x Т-К

При Т < Qd теплоемкость уменьшается с понижением температуры, однако не быстрее, чем Т. В то же время «вымерзание» коротковолновых фононов, необходимых для осуществления процессов переброса, приводит к быстрому росту <т>. В результате к ехр (0р/2/со). Приведенные выше рассуждения и выводы о температурной зависимости х, по-видимому, в наибольшей степени должны относиться к одноатомным кристаллам. При наличии оптических ветвей их возбуждение при достаточно высоких температурах может заметно повлиять на теплопроводность, приводя либо к ее увеличению (при сильной дисперсии), либо к уменьшению (из-за рассеяния акустических фононов на оптических). Возможные варианты фонон-фононного взаимодействия в последнем случае сильно ограничены законом сохранения энергии. Согласно [И], могут осуществляться лишь процессы типа а + а о {а - акустические фононы, о - оптические) и притом, если оптические частоты не слишком велики. Максимальная роль процессов переброса соответствует условию соопт ~ со.

Следует отметить, что для халькогенидов свинца и элементов V группы, несмотря на сложный колебательный спектр, эксперимент в области Г > 0D хорошо согласуется с выводами простой теории: решеточная теплопроводность чистых кристаллов меняется с температурой по закону, близкому к Хр -- Г".

Рассеяние фононов на точечных дефектах. Атомы изотопов, примесные атомы, вакансии, межузельные атомы создают в кристалле локальные изменения плотности и констант упругой связи. Рассеяние длинноволновых акустических фононов на точечных дефектах удовлетворительно описывается в рамках рэлеевского приближения. Время релаксации обратно пропорционально концентрации дефектов и четвертой степени частоты: Тд %ефО)* Абсолютная величина сечения рассеяния на изотопическом дефекте Ф (АМ/М), где AM - отклонение массы изотопа от средней. В случае дефекта с изменёнными силами связи Ф - {bvIvY, где бг; - локальное изменение скорости звука.



[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [ 14 ] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] Метод литья пластмасс активно исопльзуется на соременных производствах.

0.0017