выражаются через усредненные по толщине следующим образом: аэф = а, (1.235)

адф = (аБ)/а, (1,236)

Хаф = й + 2 [(aFa) - if/a], (1.237)

1ф=(ШуЪ\ (1.238)

0 {Qo) I («До) (Дд)(«°) 2Ат

= (1.241)

Здесь индекс О соответствует случаю слабого магнитного поля, индекс сю - сильному магнитному полю.

При использовании формул (1.235)-(1.241) для конкретных расчетов следует иметь в виду следующее обстоятельство. Когда жы в неоднородной среде выделим некий слой с приблизительно постоянными составом и свойствами, то характеризующие его локальные кинетические коэффициенты, вообще говоря, могут и не быть такими же, как в однородной среде того же состава. Может сказываться влияние соседних слоев с другими свойствами, различных размерных эффектов и т. п. Если, например, неоднородность образца определяется только зависимостью концентрации носителей заряда от z, то условие возможности подстановки в формулы значений о (/г), R (п), а (п) и т. д., соответствующих однородной неограниченной среде с концентрацией п, можно записать в виде

/<1, (1.242)

П dz

где I -- максимальная из характеристических длин (дебройлев-€кой волны, дёбаевского экранирования, свободного пробега и т. п.). Ниже мы рассмотрим соотношение эффективных и усредненных по толщине кинетических коэффициентов на примере материала, неоднородность которого определяется зависимостью л (z), и будем считать, что выполняется условие (1.242). Даже если оно и не выполняется, есть основания полагать, что основные качественные выводы остаются в силе.

Коэффициент Холла. Пусть перенос осуществляется носителями одного типа и Холл-фактор одинаков для всех слоев. Тогда в слабом магнитном поле

(1.243)

Вычисляемая из /?эф концентрация носителей может отличаться от средней по толщине даже в том случае, если Холл-фактор А к равен единице. Нетрудно показать, что при = 1 п/щф > 1. Для доказательства воспроизведем процедуру усреднения по толщине пленки. Разбиваем пленку на N слоев равной толщины, складываем значения усредняемой величины для разных слоев и делим на N:

"li==-jrYj ()=4rfc«. (1.244) fe=i fc=i fe=i

Подставляя эти выражения в уравнение

п/щ =: (2) й/(/ш)2, (1.245)

находим

N N N

п/п,ф - 1 = V2 S S {щ - щ)у (S пщУ. (1.246)

i=l к=1 i=l

Так как ни одно из слагаемых в числителе этого выражения не может быть отрицательным, а знаменатель существенно положителен,, то « гэф 1, что и требовалось доказать.

Из (1.246) видно, что = столько при условии и (z) = const. В противном случае при любом характере зависимости и (z), даже при п (z) const, измерения коэффициента Холла дают заниженные значения средней концентрации.

Если при измерении эффекта Холла удается выполнить условие сильного поля для всех слоев, то согласно (1.241) пдф = п при любом виде зависимости и (z).

Подвижность. Введем для слоисто-йеоднородной среды эффективные дрейфовую и холловскую подвижности в виде соотношений

гдр == ОэфМ = (тг)/7г, (1.247)

ttf = /?эфаф = Л (1.248)

Здесь ггдр - усреднение по координате z функции и (z) с весовой функцией п (z). Если между подвижностью и концентрацией имеется однозначная зависимость, то и при duldn О, Кдр й при dujdn < О и ггдр - й при dufdn = 0. В однородной среде холловская и дрейфовая подвижности совпадают, если Холл-фактор = 1. В слоисто-неоднородной среде, как видно из (1.243), (1.246)-(1.248), даже в этом случае гг* > и% при наличии зависимости и [z).

При сопоставлении параметров пленок и объемных образцов обычно сравниваются значения измеренных кинетических коэффициентов при одинаковых холловских концентрациях. Применительно к холловской подвижности в слоисто-неоднородной плен-

ке сравнивается м* с величиной щ в однородном объемном образце с концентрацией носителей, равной Щф пленки, т. е.

(пэф). Рассмотрим соотношение этих двух величин для двухслойной пленки. Здесь

= (fiiii + zlViii + пиф) (1.249)

эф = (fiiii + 6222)(6111 + 6222) (1.250)

{отличием Холл-фактора от единицы по-прежнему пренебрегаем, 1 и 62 - относительные толщины слоев).

Пусть в однородном материале зависимость и{п) носит степенной характер и и концентрация носителей в пленке неоднородна по толщине {п = п (z)). Тогда

uflu, Ы) = (1 + D,yfb)b-i (1 + /?,) v(l + W-i)2bS (1.251)

где г] = 2/1» Dc = 62/61.

Анализ (1.251) дает следующие результаты: 1) при т] = 1 = Цх (пэф) при любых Dc и 6. Отличие от Ux (пэф) увеличивается по мере удаления т) от 1; 2) и/и (пф) > 1 при 60 и при -1 < 6 < -0,5, u/Ux{ Пэф) < 1 при 6 < -1 и при -0,5 < <: Ь < 0. На рис. 1.3 представлены зависимости uxlu {Щф) от ц при различных b и Dc, иллюстрирующие эти выводы.

Выше рассмотрен случай наиболее резкой неоднородности - два слоя с разными концентрациями. Если помимо этих двух слоев € /г и 2 имеются слои с промежуточными значениями концентраций, отличие от (Дэф) будет меньше. На рис. 1.3 крестиками отмечены значения и/и (пэф) для случая, когда п (z) линейно изменяотся от щ до 722, /г (z) = п- + {щ - nzld.

Эффективный коэффициент термо-ЭДС. Согласно (1.236) - усредненная по толщине пленки величина коэффициента термо-ЭДС с весовой функцией о (z). Если сопоставить ее с усредненным по толщине значением а, то так же, как в случае дрейфовой подвижности, находим > а при daldo > О, < а при da/do < О и «эф = а при о (z) = const или а (z) = const. Здесь, как и прежде, рассматривается образец, во всех сечениях которого носители имеют один и тот же знак. Кроме того, имеются в виду абсолютные значения а, аф и а. Как правило, зависимость а (о) падающая, т. е. аэф<;а.

Рассмотрим теперь соотношение «эф и а (щф) опять-таки на примере двухслойной пленки, для которой

«эф = (Ьапи + Ь2а2Щщ)1{Ьпщ + 62122)- (1.252)

Пусть в однородном материале зависимость а {п) носит степенной 64