Главная  Пленочные термоэлементы 

[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [ 7 ] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76]

ближение времени релаксации т (к), когда интеграл столкновений может быть представлен в виде

{djldt\, {f f)/r {к). (1.86)

Время релаксации можно ввести, если: 1) рассеяние квази-упруго, т. еГ относительное изменение энергии носителя заряда з4ало; 2) рассеяние изотропно, т. е. приводит к случайному распределению скоростей. В приближении времени релаксации удается описать ряд наиболее важных (часто встречающихся) механизмов рассеяния. Почти упругими являются столкновения электронов с примесями и дефектами в силу очень больших различий масс взаимодействующих объектов. Рассеяние на тепловых колебаниях решетки также можно считать квазиупругим при юпределенных условиях [9, 101. Как будет показано, кинетические эффекты определяются свойствами носителей заряда, энергии которых заключены в интервале шириной порядка оГ, прилегающем к краю зоны (классическая статистика) или к уровню Ферми {сильное вырождение). В последнем случае рассеяние на фононах {об их спектре см. разд. 1.3) можно считать квазиупругим, если их энергия существенно ниже энергии Ферми. В случае классической статистики энергию фононов следует сравнивать со средней тепловой энергией носителей заряда 3/2кТ, Из анализа законов сохранения энергии и квазиимпульса вытекает, что рассеяние на акустических фононах квазиупругое, за исключением области очень низких температур (порядка 1К). Столкно-зения с оптическими фононами может быть описано временем релаксации при высоких температурах (Т Эопт» где бопт = = Й(Оопт/о - характеристическая температура, определяемая частотой длинноволновых оптических фононов). Время релаксации можно ввести также и для очень низких температур (Г< бопт). Здесь из-за очень больших различий вероятностей поглощения н испускания электронов оптического фонона (и;исп/погл ~ ехр {%ит1Т)), процесс взаимодействия можно качественно представлять следующим образом (см. [9]). Поглотив фонон с энергией Йсоопт и квазиимпульсом Йк, электрон почти мгновенно испустит другой фонон с такой же (или почти такой же) энергией и квазиимпульсом Йка, который может существенно отличаться от Ш, Такие процессы, мало изменяя энергию носителей заряда, приводят к эффективному рассеянию импульса. Приводящие к случайному распределению скоростей процессы рассеяния жежду эквивалентными и неэквивалентными экстремумами (долинами) при некоторых оговорках также описываются временем релаксации.

В тех случаях, когда нельзя ввести время релаксации, например при рассмотрении неупругого рассеяния на оптических фононах или электрон-электронного взаимодействия, может быть использован вариационный метод. Этот метод, как правило, не дает точных аналитических выражений для кинетических коэффициентов или они очень громоздки. Численные результаты обыч-



но получают с помощью приближенных выражений, используа простые пробные функции. Формулировка и обоснование вариационного метода, некоторые конкретные его приложения к явлениям переноса даны в [И]. Влияние неупругого рассеяния на широкий круг кинетических коэффициентов с использованием вариационного метода рассмотрено в [12].

В общем случае время релаксации т (к) зависит как от величины, так и от направления волнового вектора. Для сферических изоэнергетических поверхностей т (к) = х (к) = т () - скалярная функция волнового вектора. При этом решение кинетического уравнения может быть представлено в виде

Л (к) =.T(e){-dfomxx, (1.87)

где % - векторная функция энергии, температуры и внешних полей

Для случая анизотропного энергетического сйектра Херринг и Фогт [13] предложили приближенный метод решения уравнения Больцмана, введя тензор второго ранга, характеризующий скорость обусловленных рассеянием изменений функций распределения. Если в кристалле имеются две (или больше) плоскости симметрии, проходящие через точки экстремумов в к-пространстве, то главные оси этого тензора совпадают с осями изоэнергетических эллипсоидов. При этом в главных осях эллипсоида энергии решение кинетического уравнения имеет вид

/i = (-/o/)S Wi. (1-88)

Таким образом, вместо единственного скалярного времени релаксации т (ё), характеризующего состояния с энергией вводится три времени релаксации (т (g), (8*), Тз ()), соответствующие трем главным осям эллипсоида. Приближение Херринга и Фогта дает хорошие результаты, если анизотропия рассеяния не очень велика. В частности, с помощью этой теории удается удовлетворительно описать подвижность, гальваномагнитные эффекты и пьезосопротивление в Si и Ge. Не всегда оказывается существенным требование наличия двух плоскостей симметрии. Так, расчеты [14], выполненные для BigTcg, где через центры эллипсоидов энергии проходит только одна плоскость симметрии показали, что недиагональные компоненты тензора релаксации очень малы по сравнению с диагональными. Таким образом, оказалось, что главные оси этого тензора практически совпадают с осями эллипсоида и можно использовать (1.88).

Различные механизмы рассеяния характеризуются разными энергетическими и температурными зависимостями времени релаксации. Для основных механизмов зависимость т (ё) в случае стандартной (параболической изотропной) зоны носит степенной характер. Ее удобно записать в виде

т = То (Г) (1.89)



Частота квазиупругого рассеяния пропорциональна квад" рату матричного элемента рассеяния М и плотности состояний g. Последняя в параболической зоне увеличивается с ростом энергии по закону g {) 8*/ Таким образом, параметр г в (1.89) характеризует энергетическую зависимость квадрат1а матричного элемента М - й"". Если учесть, что в параболической зоне средняя длина релаксации (в некоторых случаях совпадающая с длиной свободного пробега) 1 = vx "t, то можно сказать, что параметр рассеяния характеризует энергетическую зависимость длины релаксации (свободного пробега)

/е- /о (Л Г. (1.90)

Укажем значения г и вид То (Г) для наиболее важных механизмов рассеяния.

4. Для акустических фононов

То (Г) ~ Т-\ г = 0.

2. При оптических полярных колебаниях

тo(Г)-г- г=;, г>*еопт.

3. При оптических деформационных колебаниях %о (Т) еош/т г = 1/2, Г < бопт,

То (Г) - г = 1/2, Т > бопт.

4. Для ионов примесей с учетом экранирования кулоновского потенциала примеси свободными носителями заряда

т - Г/ Ф (»),

гдч. D {ё) - функция, медленно (логарифмически) растущая с ростом ё, В первом приближении можно считать т g/, •т. е. г = 2, То (Т) Г».

5. Для нейтральных водородоподобных центров То (Г) г = Ч,,

6. Для точечных дефектов То (Г) Г г = 0.

7. Для меж долинного рассеяния

Т < бопт, То - Л"/, г = 0; Г > бопт, То -

Здесь &060ПТ энергия фононов (коротковолновых), участие которых в рассеянии обеспечивает сохранение квазиимпульса при междолинных переходах.



[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [ 7 ] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76]

0.0013