1) управляемое изменение для осуществления различных преобразований сигналов (модуляции, преобразования частоты, параметрического усиления и т. д.);

2) неуправляемое изменение, обусловленное различными физическими явлениями при передаче сигналов в свободном пространстве, например, изменяющейся во времени задержкой сигнала, колебанием затухания волн при их распространении, изменением фазовых соотношений при многолучевом распространении радиоволн, изменением сигналов во времени из-за флуктуации параметров тракта и т. д.

Влияние изменений параметров второго вида, носящих обычно статистический характер, будет рассмотрено в гл. 11. В настоящей главе изучаются явления при принудительном изменении во времени одного из параметров линейной цепи (апериодической или колебательной). В основном имеется в виду изменение пара.метра по гармоническому закону.

10.2. ПРОХОЖДЕНИЕ СИГНАЛОВ ЧЕРЕЗ ЛИНЕЙНЫЕ ЦЕПИ С ПЕРЕМЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

В гл. 6 рассматривалась передача различных сигналов через линейные цепи с постоянными параметрами. Связь между входным и выходным сигналами в таких цепях определялась с помощью передаточной функции К (iw) (спектральный метод) пли с помощью импульсной характеристики g (t) (метод интеграла наложения).

Аналогичные соотношения можно составить и для линейных цепей с переменными параметрами. Очевидно, что в подобных цепях характер зависимости между входным и выходным сигналами в процессе передачи изменяется. Иными словами, передаточная функция цепи зависит не только от со, но и от времени; импульсная характеристика также зависит от двух переменных: от интервала i - х между мо.ментом приложения единичного импульса X и моментом наблюдения выходного сигнала t (как и для цепи с постоянными пара.метрами) и, кроме того, от положения интервала t - х на осп времени. Поэтому для цепи с переменными параметрами импульсную характеристику следует записывать в общей форме g {t, х).

Если на входе четырехполюсника с импульсной характеристикой g (t, х) действует произвольный сигнал s-{t) (рис. 10.2), то, основываясь на принципе суперпозиции, выходной сигнал по аналогии с выражением (6.11) можно определить с помощью выражения

5вь,х(0- S s{t-x)g(t, x)dx. (10.12)

- оо

Постараемся теперь ввести передаточную функцию К ((м, t) для цепи с переменными параметрами. Для этого представим функцию s (t - х) в виде интеграла Фурье:

(-- j S(a))e»(-)dco, (10.13)

- оо

где S (со) - спектральная плотность сигнала s (t). Тогда выражение (10.13) переходит в следующее:

оо оо

5вых (О -= - г S (со) е" Г g(t, х)е ""dxdc. 2-1 J J

s(t)

Обозначив внутренний интеграл через

-о К (tu),0, перепишем последнее выражение сле-

дующим образом:

Рис. 10.2. Параметриче- .гА)-=--~ Г S (w)K (ico, О е*-t({u. (10.14)

ский четырехполюсник

Из (10.14) следует, что функцию К ((«, t), определяемую выражением

К(1со, 0= g{t, x)e-""dx, (10.15)

- с»

можно рассматривать как передаточную функцию линейной цепи с переменными параметрами.

Применение общего выражения (10.15) к цепям с произвольным изменением параметров во времени обычно оказывается слишком сложным из-за трудности нахождения импульсной характеристики g (i, х). Задача существенно упрощается в случае периодического изменения параметра цепи. Определение функции К (ко, t), периодической во времени, рассматривается в § 10.4.

10.3. ПРИМЕР ОПРЕДЕЛЕНИЯ ИМПУЛЬСНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ

Для определения импульсной характеристики g (t, х) непосредственно по заданным параметрам цепи без обращения к передаточной функции К ((ff>, t) необходимо использовать дифференциальное уравнение цепи.

Рассмотрим простую цепь, описываемую уравнением первого порядка

«1 (О- + «0 (0/(0 =/(О- (10.16)

По определению импульсная характеристика является откликом цепи на единичный импульс б ( - х), подаваемый на вход в момент t - х (см. § 10.2). Из этого определения следует, что если в правой части уравнения (10.16) функцию / {t) заменить на б (/ - х), то в левой части у (t) можно заменить на g (t, х).

Таки.м образом, приходим к уравнению

аг (t) + ао (t) g {t, х) б (t-х). (10.17)

Так как правая часть этого уравнения равна нулю всюду, кроме точки t = X, функцию g (t, х) можно искать в виде решения однородного уравнения (с нулевой правой частью)

«i(0-4«о(0/=0, йо=0, (10.18)

при начальных условиях, вытекающих из уравнения (10.17), а также из условия, что к моменту приложения импульса б ( - х) в цепи отсутствуют токи и напряжения («пустая» цепь).

В (10.18) переменные разделяются:

JL + fJ-P (О dt =..0,-

откуда

- f Р (О dt

у = ц<е , (10.19)

где Pit) =ao(t)la,{t), а

Ф-У(. )(=. (10:20)

представляет собой значение и.мпульсной характеристики в .мо.мент t = х.

Для определения ф вернемся к исходному уравнению (10.17), из которого видно, что в точке t = х функция g (t) должна совершать скачок ца величину l/fli (х) (рис. 10.3). Только при этом условии первое слагаемое в уравнении (10.17), т. е. fli (t) dg/dt, может образовать дельта-функцию б (t-x).

Так как при t<Cx g (i, х) == О, то в момент t = х

g{t, x)\t=.\/ax{x). (10.21)

Заменяя в выражении (10.19) неопределенный интеграл определенным с переменным верхним пределом, получаем

g{t, х) = ф (л:) ехр

Р{и) du

а, (и)

(10.22)

Для ясности переменная интегрирования вместо t обозначена буквой и.

Используем выражение (10.22) для цепи (рис. 10.4), представляющей собой последовательное соединение резистора с переменным сопротивлением

(10.23)

и с постоянной емкостью С. Под Ь it - х) подразу.мевается импульс ЭДС, а в качестве определяемой функции g (t, х) выбере.м заряд конденсатора q (t).

Тогда уравнение цепи в соответствии с (10.17) и (10.23) можно записать в форме

+q = 8it-x).

I+msinQ/ dt С„ Подставляя в (10.22)

fli (О = V(l + т sin Qt), «о (О = 1/Со,, получаем

(10,24)

I + т sin at

т sin Qu

- Ill s in Qt

t - x

г0 Co

rC„Q

(cos Qt - cos Qx)

(10.25)

r/t)

i(tj

Рис. 10.3. Импульсная характеристика цепи, описываемой уравнением (10.17)

Рис. 10.4. Пример простой параметрической цепи