Подставляя эти выражения в (11.83) и приравнивая x = s,azlx = y - Sgbix-K, приходим к следующему общему выражению для плотности вероятности выходного сигнала:

Р (Sbmx) =

It "l/2it Од. J-

Следует подчеркнуть, что найденный закон распределения характеризует мгновенное значение выходного сигнала.

Для практики часто основной интерес представляет распределение огибающей выходного сигнала. Представляя выходной сигнал в форме

«вых (О = S (О /С (/) = Л о cos (Шо i! -f- 9) [Ко -f- А/( (/)] = Л (/) cos (Шо i! -f- 9),

где А (t) = Л о [Ко + К (/)] - огибающая, приходим к очевидному заключению, что случайная фаза 9 не влияет на распределение огибающей. Последнее совпадает с распределением функции Kit), т. е. является нормальным, со средним значением АдКо и с дисперсией Л§а.

Глава 12. ДИСКРЕТНАЯ ОБРАБОТКА СИГНАЛОВ. ЦИФРОВЫЕ ФИЛЬТРЫ

12.1. ВВОДНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ

Последние годы характеризуются быстрым развитием дискретных систем управления и систем передачи информации, в которых широко применяется математическое моделирование процессов фильтрации, основанное на использовании ЭВМ. Это новое направление оказывает большое влияние на развитие теории и техники цепей и сигналов.

Цифровые фильтры имеют ряд преимуществ. Основные из них - надежность в работе и стабильность характеристик, недостижимые в аналоговых фильтрах - обусловлены преобразованием континуального сигнала в двоичное число, представленное стандартными сигналами (импульсами и паузами). Некоторые другие важные преимущества будут отмечены в дальнейшем после более детального рассмотрения основных характеристик цифрового фильтра.

Общее представление о принципе цифровой обработки континуального сигнала можно получить из схемы, изображенной на рис. 12.1, на котором даны эпюры колебаний в различных точках схемы. Входной сигнал s (t) подвергается сначала дискретизации по времени с помошью электронного ключа (ЭК), работающего с шагом Т. Процедура дискретизации описана в § 2.16. Сигнал St (t) на выходе ЭК имеет вид последовательности равноотстоящих коротких импульсов, являющихся выборками (отсчетами) сигнала s (t). Предполагается, что при выборе шага Г обеспечивается сохранение информации, содержащейся в континуальном сигнале s (t).

Каждый отсчет запоминается в интегрирующей RC-u,em на время, необходимое для срабатывания аналого-цифрового преобразователя (АЦП). Это вре.мя должно быть не больше шага Т. В результате на выходе RC-nenn получается ступенчатое колебание St- (t). В АЦП каждый отсчет квантуется по уровню и преобразуется в кодовое слово - двоичное число, составленное из г разрядов, каждый из которых представлен нулем или единицей (паузой или стандартным импульсом).

эк т

Рис. 12.1. Функциональная схема цифрового фильтра

Квантование заключается в том, что отсчет измеряется и ему присваивается один уровень из общего числа возможных. Это число равно 2. Например, при г 10 получается 2" = 1024 уровня. Каждому разряду соответствует своя шина, так что на выходе АЦП закодированный цифровой отсчет представлен в виде комбинации из бинарных чисел (пауз и импульсов), возникающих на г выходных шинах одновременно (параллельный код). Максимально возможному значению отсчета соответствует кодовое слово, составленное из г импульсов, нулевому значению отсчета - слово из г пауз. Точность представления отсчета тем выше, чем длиннее кодовое слово, т. е. чем больше в нем бинарных чисел.

Последовательность закодированных цифрами отсчетов поступает в цифровой фильтр (ЦФ), представляющий собой вычислительное устройство, в котором над кодовыми словами производятся определенные математические операции (сложение, умножение, а также задержка во времени), соответствующие заданному алгоритму. В результате этих операций невыходе ЦФ возникают новые кодовые слова, соответствующие пpoфильтpJвaннoмy сигналу.

В цифро-аналоговом преобразователе (ЦАП) каждое кодовое слово приводит в действие группу электронных ключей, которые управляют суммированием эталонных напряжений, соответствующих каждому из разрядов. В результате на выходе ЦАП воспроизводятся отсчеты в аналоговой форме. Такое декодирование является процессом, обратным происходящему в АЦП.

Напряжение на выходе ЦАП Хгвых (О имеет ступенчатую форму, причем высота каждой ступени равна отсчету выходного сигнала в соответствующий момент времени.

Под выходным дискретизованный сигналом S/x (О в дальнейшем будет подразумеваться последовательность «тонких» импульсов, амплитуды которых равны высотам соответствующих ступеней.

Наконец, в четырехполюснике, который можно назвать синтезирующим фильтром (СФ), осуществляется преобразование дискретной последовательности в континуальный выходной сигнал .дых- (О-

Очевидно, что перечисленные выше преобразования, производи.мые над каждым отсчетом входного сигнала, должны выполняться за время, меньшее шага Т. Кроме того, должна обеспечиваться строгая синхронность управления электронными ключами, используемыми для осуществления поразрядного сложения, вычитания и других операций над кодовыми словами. Все это приводит к необходимости применения сложной системы синхронизации вспомогательных импульсных последовательностей, с помощью которых на каждом шаге Т обеспечиваются стирание старой информации в двоичных элементах (например, в триггерах) и ввод в них новой информации.

Задача решается формированием указанных последовательностей из единого гармонического колебания с частотой 1/Г, получаемого от опорного генератора. В связи с тем, что Т является основным параметром цифрового

фильтра, особое внимание уделяется повышению стабильности частоты этого генератора. Применение интегральных микро схем позволяет с успехом решать перечисленные выше сложные задачи.

Следует отметить, что при рассмотрении принципа действия схемы, представленной на рис. 12.1, преобразования аналог - цифра и цифра - аналог не имеют решающего значения. Можно исходить из допущения, что в ЦФ вводятся неквантованные отсчеты (в аналоговой форме), над которыми и совершаются математические операции (существуют дискретные системы аналогового типа, в которых не используется цифровое кодирование). В связи с этим в последующих параграфах рассматривается принцип действия дискретных систем сначала без учета АЦП и ЦАП. Оценка же погрешности, связанной с квантованием отсчетов, дается в § 12.9.

12.2. ПРИНЦИП ДИСКРЕТНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ

Дискретный сигнал на входе цифрового фильтра представляет собой последовательность из N отсчетов s (kT), k = 0,1, N - 1, взятых с интервалом Т из континуального сигнала s (t). На выходе фильтра в результате определенных операций возникает последовательность чисел sx (7").

Рассмотрим сначала наиболее простой алгоритм работы цифрового фильтра, при котором число six itnT) в момент t = тТ зависит только от S (тТ) и предшествующих ему входных чисел:

5вых {>пТ} = ао S (тТ) + а, s {тТ-Т) + s (тТ -2Т) +... +

-f ан8{тТ~НТ). (12.1)

Коэффициенты щ («весовые коэффициенты» фильтра) - действительные гюстоянные числа; Н - макси.мальное число запоминаемых чисел.

Начиная с момента t = О выходные числа в моменты t ~ 0,Т, 2Т, ... будут определяться выражениями

5вых(0)=ао«{0).

,uAT)a,s{T)-\-ais{0),

«вых (2Л = Оо S (2Г) + «1S (Г) + Oi S (0),

«вых {тТ) - flo S {тТ) + ai S l(m -1) Г] + а., s [(m -2) Г] + ... -f + ан5[{т-Н)Г].

Приведенные соотношения обобщаются выражением

5аых(/п7)= S ai,s[(m-k)T], тН. (12.2)

Алгоритм (12.2) реализуется схемой, представленной на рис. 12.2, на котором Т означает элемент памяти, иногда для краткости называемый задержкой. Величина задержки совпадает с темпом поступления отсчетов сигнала. Из общего описания цифрового фильтра, приведенного в предыдущем параграфе, ясно, что эффект задержки достигается вводом и выводом чисел из двоичных элементов (триггеров) синхронно с работой электронного ключа.

Непосредственно из схемы на рис. 12.2 вытекает, что при подаче на вход фильтра отсчета s (0) = 1 (единичный импульс) на выходе сумматора возникает последовательность чисел, имеющая смысл импульсной характеристики цифрового фильтра (рис. 12.3). В дальнейшем импульсная характеристика будет обозначаться через g (kT).