Главная  Цепи и сигналы 

[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [ 121 ] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169]

в выражении (12.32) коэф<})ициенты а, и Ь,, следует подставлять с теми же знаками, с которыми они входят в (12-4).

В выражении (12.33) 2ц„ - нули, а г,, - полюсы передаточной функции; 2ц„ и могут быть либо действитсльными, либо комплексными числами. В первом случае они расположены на действительной оси, а во втором образуют комплексно-сопряженные пары.

Нули могут быть расположены в любой точке плоскости г, полюсы же - только внутри круга единичного радиуса. Это условие вытекает из требования устойчивости цепи; при рассмотрении поведения передаточной функции на плоскости р условие устойчивости требует расположения полюсов в левой полуплоскости. Как отмечалось выше, левая полуплоскость р отображается внутрь единичного круга на плоскости г.

Для перехода от функции К (z) к функции Кг («) следует, как это вытекает из (12.18), приравнять z = е" (о = 0). Таким образом.

Кг [ш) -

1 й,е "•-бе •" ...-/,е--""

(.""-г,„)(.---г„,).. (."-г„)

Для определения АЧХ цепи в диапазоне (О, 2 л/7) следует вычислить модуль выражения (12.34) при изменении ыТ от О до 2 л, т. е. при одном обходе окружности единичного радиуса на z-плоскости. При последующих обходах окружности АЧХ периодически повторяется.

Модули разностей е" - Zo и е*" - г являются расстояниями отточки на окружности, соответствую1цей углу со7, до нуляго или полюса Znft. Обозначив эти расстояния через и R„i,, получаем для АЧХ формулу

КгМ-~ао;У-;" . (12.35)

"III "п>- • •

удобную для графических вычислений.

Вычисления особенно упрощаются при построении АЧХ в логарифмическом масштабе:

/(г(<о)дБ-20

(12.36)

Если заданы нули и полюсы передаточной функции, то коэффициенты Qfi и bh легко определяются с помощью известных из алгебры соотношений. Значительно более сложной (при М > 2) задачей является определение нулей и полюсов по заданным коэффициентам а,, и 6.

Передаточная функция К (z) и импульсная характеристика g ikT) связаны между собой парой z-преобразований, вытекающих непосредственно из

выражений (12.30) и (12.27) при замене в них s (kT) wag {kT) и S (2)"на 1К (г): K{z) g(kT)z-\ (12.37)

g(kT)- Ф K(?)zi*-)dz. (12.38)

2 л t J



На окружности единичного радиуса (z = е), выражение (12.37) переходит в

- ( -

K(e>)==Kг(IVГ)= V g(kT)e

(12.39)

12.8. ПРИМЕРЫ АНАЛИЗА ЦИФРОВЫХ ФИЛЬТРОВ

1. ТРАНСВЕРСАЛЬНЫЙ ФИЛЬТР ПЕРВОГО ПОРЯДКА (рис. 12.12)

Разностное уравнение подобного фильтра в соответствии с выражениями (12.1) имеет вид

«вых {пгТ) = а„ S (тТ) -а s [(т -1) 7], (12.40)

а импульсная характеристика представляет собой пару импульсов: gj (О - g (0)6 (О 4 g(T)b{t-T) -

= а„б (О Л- ai6{t- Т). (12.41)

Передаточная функция в соответствии с (12.9) принимает вид Kr(p)-ao + aie.- (12.42)

а при представлении на z-плоскости

К(2)==ао-а,г- ==(aoZ-r-fli)/z. (12.42)

Масштабный коэффициент Qq можно без ограничения общности приравнять единице.

На z-плоскости функция К (z) обращается в нуль в точке Zq - - (рис, 12.13, а).

Для определения АЧХ фильтра подставим в (12.42) z-* = е""* = = cos 0)7 - i sin ci)7 и найдем модуль функции К (е"):

АЧХ =к(е") =1 1 -га,е-/< = 1 -f а, cos0)7 -ш, sinсо71 =

= а, \ 2а, cos о)7. (12.43)

Результаты вычислений АЧХ для aj - 0,5 и 1 представлены графически на рис. 12.13, б. Аналогичные построения для ai < О представлены на рис. 12.14.



Рис. 12.12. Трансверсальный фильтр первого порядка

" ыТ-

Рис. 12.13. Расположение нулей передаточной функции (а) и АЧХ (б) фильтра, представленного на рис. 12.12, при лоложительных коэффициентах Й]




Рис. 12.14. То же, что на рис. 12.13, прн отрицательных коэфициентах о]

Фазо-частотная характеристика фильтра

Ф (соТ) - -arctg--.

t 1 4-ai cos шТ

(12.44)

Вне частотного интервала О < шГ 2л характеристики должны быть продолжены периодически. Из рис. 12.13, б и 12.14, б видно, что при 0=1 фильтр можно использовать для подавления колебаний с частотами, близкими к шГ = л, а при й! = - 1 - близкими к соТ = О и 2л.

Подобные фильтры часто называют гребенчатыми режекторными фильтрами.

Заметим, что при = - 1 фазо-частотная характеристика линейна: Ф (шГ) = л/2 - шГ/2, О < шГ < 2л, (12.44)

2. РЕКУРСИВНЫЙ ФИЛЬТР ПЕРВОГО ПОРЯДКА (рис. 12,1.5)

Разностное уравнение в данном случае имеет вид

5«ь,х ил = S {тТ) -f- b, \{т - 1) Г. (12.45)

а импульсная характеристика

grit)(t) bfc,6(/ - Т)-Ь,Ь{1~2Т)-...-

= У b\f>(t - kT), gikT)=bl (12.46)


Рис. 12.15. Рекурсивный фильтр первого порядка

Рис. 12.16. Импульсная характеристика рекурсивного фильтра первого порядка при положительном (а) н отрицательном (б) коэффициентах 6i

bf а)

О Т ZT зт 4Т 5Т

ST \ 1

1 *



[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [ 121 ] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169]

0.0021