Главная  Цепи и сигналы 

[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [ 123 ] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169]

Очевидно, что режекторный фильтр второго порядка можно реализовать каскадным соединением двух фильтров первого порядка.

Очевидно также, что ФЧХ подобного фильтра линейна и может быть получена удвоением правой части формулы (12.44).

4. РЕКУРСИВНЫЙ ФИЛЬТР ВТОРОГО ПОРЯДКА (РИС. 12.21) Передаточную функцию запишем сначала в форме

К(г)= \l-{\biZ--b.z-)=zl(z ~biz~b,)=zb(z~z„i)iz-z,,,), (12.54)

соответствующей случаю = 1, fli = О, «2 = О, когда нули передаточной функции (в данном саучае двухкратный нуль) имеются только в точке z = О, т. е. в центре окружности единичного радиуса.

Корни уравнения 2 - biZ - 2 = О (полюсы)

2„i,2 = bi/2±Kb/4 + b2.

(12.55)

При 2 < О и, кроме того, {bl > bV4 полюсы и - комплексно-сопряженные числа:

2ni = bi/2+ *2 -b,V4, 2„2=г;,. В этом случае

(г -2„i) (2 -2n2) =-z--2 Re (2ni,2) 2 -f- I 2oi ,2

откуда вытекают следующие соотношения между коэффициентами полинома в (12.54) и полюсами:

6,-2 Re (2,,..,). Ь.,-\г,ал\-

Представив 2ni,2 форме

1е="п =re"f

(12.56)

где г -- 2ni,2 - расстояние полюса от начала координат, а cf,, - 0)„ Т - азимут полюса (рис. 12.22), получим

b,=2rcosM,J, b,== -г. (12.57)

Для определения АЧХ рассматриваемой цепи подставим в (12.54) 2 - е" и возьмем модуль

К e"0 (w)= Ь1(е"" - re""" Ке""-- re-"" ) 1. (12.58)


Рис. 12.21. Рекурсивный цифровой фильтр второго порядка

Рис. 12.22. Положение полюсов цифрового фильтра на г-плоскости




Рис. 12.23. Амплитулно-частот-иые характеристики рекурсивного фильтра второго порядка

(рис. 12.21) при an- 1. о.

и а, = 0


rr/Z

Z/Z П

При заданием положении полюсов (т. е. при заданных г и тТ) АЧХ удобно строить по формуле (12.38), измеряя и /„2 по чертежу. В данном случае для упрощения вычислений используем формулу (12.58) для частного случая «пТ = 90°. При этом выражение (12.58) легко приводится к виду

/Сг(ю) = 1.) 1 1 2гЧо.<;2(оГч-г.

12.,59)

Графики функции Кг (со) для г 0,75; 0,875 и 0,9375 представлены на рис. 12.23. С приближением г к единице рассматриваемая цепь приближается к резонатору с весьма высокой добротностью. При этом, однако, возникает опасность потери устойчивости.

Рассмотрим передаточную функцию второго порядка более общего вида, соответствующую схеме на рис. 12.21:

(12.60)

Как указывалось в §12.5 1см. формулу (12.12) и пояснение к ней1, фильтр с передаточной функцией (12.60) можно трактовать как каскадное соединение нерекурсивного фильтра (с передаточной функцией ат (г)] и рекурсивного [с передаточной функцией (г)]. Такое сочетание можно использовать, в частности, в режекторном фильтре, рассмотренном в п.1 и .дополненном обратными связями для выравнивания АЧХ в полосе прозрачности фильтра.

На рис. 12.24 показаны график функдии \ат (соТ), перенесенный с рис. 12.20 (при Оо = "2 = Ь fli - - 2), график функции IPr (соТ) при коэффициентах Ь = 0.21875 и h., - 0,4375, а также результирующая АЧХ.

Рнс. 12.24. Амплитудно-частотные характеристики рекурсивного звена с прямыми связями (I), звена с обратными связями (И) и цифрового фильтра в целом

аСыТ)

>v а,т((,}Т)/3.1.(ыТ)



12.9. ЦИФРОВЫЕ ФИЛЬТРЫ С КОМПЛЕКСНЫМИ ВЕСОВЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Переход от действительных весовых коэффициентов к комплексным придает фильтрам новые свойства, важные для обработки комплексных сигналов.

Для выяснения сути дела обратимся к простому рекурсивному фильтру первого порядка с передаточной функцией (12.47) и подставим в это выражение вместо 6] комплексный коэффициент 6, = -г ib„ = ге""":

К(2)=-. 1/(1-5, г-») = 1/(1 -2„г-1) = 2,<г-2„), (12.61)

где 2п - bi = /е""" - единственный полюс, который может быть расположен в любой точке внутри единичного круга г< 1 (условие устойчивости). Угол ©п Т может быть любым в интервале от -л до л.

Сигнал на входе фильтра зададим в виде последовательности отсчетов (s {т)}, взятых из соответствующего комплексного континуального сигнала S it) = (/) -г is, it).

Схема замещения рассматриваемого фильтра показана на рис. 12.25,а. Для построения развернутой схемы исходим из разностного уравнения (см. § 12.8, п. 2)

Bbixfn) 5(т)4-Ь15„ь,х(п - 1).

Подставляя Ь, = Ь. - ib„ и s (т.) = s (m) + is,, (m), приходим к алго-

ритму

(т) + is, .иА.т) =Se (т) тb.,s,.Ат- 1)- s.

i [s, (ш) + by ,у (m - 1) -f- Ь,. s, „ь,х С" - 1 )]•

Этот алгоритм реализуется схемой, представленной на рис. 12.25, б. Обратимся теперь к выражению (12.61) и подставим г = е* а также 2„ = геп. В результате получим

откуда следует простое выражение для АЧХ фильтра

К (е"") =1/1 \+ г«- 2г cos (w -о)„ Т ср. с (12.48)].

Максимальное значение АЧХ = 1/(1 - г) соответствует частоте (о = = Юд. Существенно, что при заданном г значение максимума АЧХ не зависит от резонансной частоты ©„Г.


Рис. 12.25. Рекурсивная схема первою 11оря;1ка с комплексным весовым коэффициентом 6



[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [ 123 ] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169]

0.0011