Главная  Цепи и сигналы 

[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [ 12 ] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169]

Спектральная плотность отрицательного импульса, показанного на рис. 2.17, б, соответственно

д МП (tt)T„/4) шг„/4 о)Ти/4

Суммарная спектральная плотность двух импульсов

sin(a)T„/4) ш„/4 с"""*)- 12Л "и/*) /- (2.72)

(от„/4 (от„/4

Спектральная плотность треугольного импульса, являющегося интегралом от функции (t), получается делением предыдущего выражения (2.72) на гсо [см. (2.60)1:

5 (щ) 2 sin (u)Tii/4) Лти / sin(0Tii/4 у (2 73)

w й)Т„/4 ~ 2 \ соТи/4 У

Множитель Лт„/2 = (0) - площадь треугольного импульса.

График 2 (со) представлен на рис. 2.17, в. Полезно отметить, что уровень боковых лепестков спектра треугольного импульса убывает пропорционально 1/со, а не 1/со, как в случае прямоугольного импульса. Большая скорость убывания спектра объясняется отсутствием разрывов в рассматри- % ваемой функции. Аналогичная картина была отмечена в § 2.4 при рассмотрении линейчатого спектра периодической последовательности треугольных импульсов.

Обобщение этого важного вопроса, основанное на использовании аппарата дельта-функций, дается в § 2.13.

3. КОЛОКОЛООБРАЗНЫЙ (ГАУССОВСКИИ) ИМПУЛЬС (РИС. 2.18, Q)

Представленный на рис. 2.18, а импульс определяется выражением 5з(0 = Ле-/2а -со</<оо. (2.74)

Этот импульс, совпадающий по форме с графиком нормального (гауссовско-го) закона распределения вероятностей, называется также гауссовским импульсом. Постоянная а имеет смысл половины длительности импульса, определяемой на уровне е-/ = l/eV от амплитуды импульса. Таким образом, полная длительность импульса т„ равна 2а. Применяя выражение (2.48), получаем

5з(со)=--Л Г e-/"e~-Чt. (2.75)

Для вычисления интеграла удобно в подынтегральной функции дополнить показатель степени до квадрата суммы

2а ./

где величина d определяется из условия mt2{t/y2a)d,




1 N

Рис. 2.18. Колоколообразный (гаус-совский) импульс (а) и его спект-тральная плотность (б)

откуда

d = Ш!У2. (2.76)

Таким образом, выражение (2.75) можно привести к виду

5з(со) = Ле j е-(/i2-a+d)2

- оо

Переходя к новой переменной X ~ {tlY2а) -( d, получаем

-"dx.

Учитывая, что входящий в это выражение интеграл равен ]/л, окончательно получаем

5з (со) =: А У2пае-/ = Ве-<"Чь

(2.77)

где й = 1/а; В = /2лаЛ.

График этой функции изображен на рис. 2.18, б.

Полученный результат имеет важное значение для теории сигналов. Оказывается, что гауссовский импульс и его спектр выражаются одинаковыми функциями и обладают свойством симметрии: для получения одной из них по заданной другой достаточно заменить на со или наоборот. При этом спектральная полоса, определяемая на уровне e~/ от максимального значения, равна 2Ь = 2/а = 2-2t„ = 4т,„ а коэффициент В =. Y2naA-

Гауссовскому спектру

5з(со)=Ве-»2ь» (2.78)

соответствует гауссовский импульс

S3 (О -Ле-&"/2 =-.-.-4 е->"У (2.79)

с длительностью 2/6 и амплитудой А = ВЬ1У2л.

Очевидно, что чем меньше длительность импульса т,„ тем шире спектральная полоса 2Ь.

4. ИМПУЛЬС ВИДА SINC [х) На рис. 2.19, а изображен импульс, определяемый выражением sin Шт t sin 2nf„ t

S4(0 = sinc (co,„ t) -

COm t

(2.80)

Вместо вычисления спектральной плотности по формуле (2.48) воспользуемся результатами п. 1 данного параграфа и свойством взаимной заменяемости со и в преобразованиях Фурье для четных функций времени (см. п. 7 §2.8).

Из рис. 2.14 очевидно, что после замены со на / и / на со заданной функции Sg (t) будет соответствовать спектр прямоугольной формы. Остается лишь найти площадь этого спектра и его уровень.




Znf„

Pile. 2.19. Импульс вида sine ((d.,,/) (o) и его спектральная плотность (б)

Для ЭТОГО сопоставим абсциссу t - л на рис. 2.19, а с аналогичной абсциссой О) 2л т„ на рис. 2.14, б. Очевидно, что при замене на со (или наоборот) в данном примере необходимо исходить из соответствия л/со 2л/Т,, т. е. т„ ->2о)т, откуда следует, что 2oj„, и есть искомая ширина спектра S (со).

Уровень спектра, равномерный в полосе -u)„, < со < oj,„, проще всего определить по его значению в точке oj - О, для которой S4 (0) равно площади импульса 1см. (2.55)1;

(0) - \ S, (О dtA

sinu),rt t А

dx--

л =

Итак, окончательно А 2/,„ при О при

S4 (со) =

(2.81)

(2.82)

5. ГРУППА ОДИНАКОВЫХ И РАВНООТСТОЯЩИХ HMnN,nbCOB

Спектральную плотность первого импульса в пачке (рис. 2.20) обозначим через Si (о)). Тогда для второго импульса, сдвинутого относительно первого на время Т (в сторону запаздывания), спектральную плотность можно на основании (2.57) представить выражением S (о)) - S, (о)) е-, для третьего импульса S3 (со) =- S, (ш) е-мг j д

Для группы из импульсов в соответствии с принципом линейного суммирования спектров при сложении сигналов спектральная плотность

S((o)=iS,(o))l +-е-" , е-" г... -е-<- """I. (2.83)

При частотах, отвечающих условию со - k2n.T. где k - целое число, каждое из слагаемых в квадратных скобках равно единице и, следовательно,

S\k2n T\NSt\k2nT\. (2.84)

Таким образом, при частотах (О - k2n Т модуль спектральной

Рис. 2.20. Пачка одинаковых, равноотстоящих импульсов



[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [ 12 ] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169]

0.0018