Главная  Цепи и сигналы 

[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [ 130 ] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169]


-2п yiTt 2п О Zn г,2п ,2я- 7Г


Zr Zn .Zjt n Zn Zn

Рис. 12.41. Частотные характеристики устройства БПФ:

а) при входном сигнале е , О <; «Г < л: б) то же при -я<оо7"< 0; в) то же при О шТ" < 2я

Используя известные формулы для суммы косинусов или синусов кратных дуг

V созл: =

(N - \)x Nx cos---sin--N-\

приведем (12.83) к виду

sin х/2

(N-\)x Nx

sin--sin--

2 2

sin x/2

S(n, cu7) =

car --n

, д = 0, \,...,Ni2,

/V/2<n<A/-1.

(12.84)

Ранее отмечалось, что информация о S (л, со Т) получается к моменту t = = (N- 1) Г, когда входной сигнал s (t) принимает значение е<» (,v-i)7- Поэтому передаточную функцию п-го частотного канала анализатора спектра логично трактовать как отношение

„i(N-l)a>T

sin-

(оГ --

2п \

(12.85) 393



При задании испытательного сигнала в форме s (г") =е-® передаточная функция определяется выражением, комплексно-сопряженным по отношению к (12.85):

S(n. (О Г)

шГ -

2л N

шГ--

1,...,

-/V/2.

(12.86)

Графики передаточных функций, построенные по формулам (12 85), (12.86) для N = 8 (без учета фазовых множителей), представлены на рис. 12.41, а и. б. Поскольку вне интервала характеристики повторяются, эти графики можно объединить, как это показано на рис. 12.41, в. (Представлены только главные лепестки).

Итак, на комплексный сигнал е** откликаются только частотные каналы анализатора с номерами О < л < Л72, а на сигнал е-® - только каналы с номерами N/2< n<i N - 1. Это означает, что при анализе спектра комплексных сигналов с помощью БПФ можно определить не только абсолютное значение со, но и знак частоты. Это важное свойство будет проил-люстровано в § 13.9 на примере квадратурной обработки сигналов.

При подаче на вход БПФ последовательности {s (fe)}, k = 0,1.....Л -1,

взятой из сигнала в виде постоянного напряжения (со = 0), на выходе БПФ спектральный коэффициент S (0,0) равен N, а все остальные равны нулю; при

частоте исходного (комплексного) сигнала со = -г , один-единственный

/ 2я\

коэффициентS I, I равен N, а все остальные равны нулю и т. д.

Соотношение между входными и выходными сигналами для БПФ-8 иллюстрируются рис. 12.42.

N 0 0 0 0 0 0 0

Re 1

\0 1

о О Н 1!

m\s(ij\s(z)\5(S)\s(4p<s\s(&\si7)

о Т 21 Zr

(N-1)T f

О о о о N о о о

БПФ-8 1

i<7/

БПФ-Ь I

оооооомо I! II li I! II в I! I!

sffe)=B


БПФ-&

sffe"* fZ fzu


Рис. 12.42. Отклик анализатора спектра на комплексный сигнал при различных значениях ыТ=п2п1Т, л = 0, 1,4 и 5:

------действительная.-----мнимая части сигналов




ОБПФ

Рис. 12.43. Алгоритм вычисления свертки двух сигналов, основанный на использовании БПФ [S (п) обозначает произведение X (п) Y (п)\

Основываясь на выражении (12.83), а также (12.85), (12.86), нетрудно найти отклик рассматриваемого устройства на испытательный сигнал s {t)= = cos 0), - оо <i t < oo. Представив этот сигнал в виде суммы двух комплексных сигналов

s(0 = V2e*> + V2e-

придем к выходному сигналу в виде двух комплексно-сопряженных спектральных коэффициентов S («, (лТ) и S (Л - п, 2я - (лТ), расположенных симметрично относительно точки я на оси со Т.

12.16. ПРИМЕНЕНИЕ БЫСТРОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ В УСТРОЙСТВАХ ОБРАБОТКИ СИГНАЛОВ

Вернемся к структурной схеме цифровой фильтрации сигнала, представленной на рис. 12.35.

В § 12.13 отмечалось, что осуществление подобной обработки при длинных последовательностях s(k.) стало эффективным лищь при использовании алгоритма БПФ - как для прямого, так и обратного дискретного преобразования (ОБПФ).

По существу, в данной схеме иа первом этапе проводится спектральный анализ входного сигнала с помощью БПФ, затем осуществляется собственно фильтрация с помощью цифрового фильтра К- (in), после чего профильтрованный сигнал с помощью ОБПФ преобразуется в выходной сигнал в виде функции времени. В современной практике как БПФ, так и ОБПФ осуществляются в одном и том же устройстве.

Обратимся к рассмотрению другой задачи -вычислению дискретной свертки двух функций времени х (t) и у (/), представленных последовательностями {х (k)], k = 1,0, Ni - 1, и {у (k)}, k = 0,1,..., - 1, с использованием БПФ.

Б основе алгоритма этой операции, представленного иа рис. 12.43, лежит теорема свертки, сформулированная для дискретных сигналов в п.З. § 12.4.

В соответствии с этой теоремой S («) = X («) Y («), причем под Л, как и ранее, следует подразумевать Aj -f Л. После обратного БПФ получается последовательность (s(A)}, А =0,1, Л - I, являющаяся сверткой последовательностей {х (k)\ и {V(k)\.

Таким образом, вместо прямого вычисления свертки двух сигналов по формуле (12.73) сначала эти сигналы с помощью БПФ переводятся в спектральную область, а затем после перемножения спектров и ОБПФ приводятся к требуемому результату.

При достаточно длинных последовательностях \х (k)) и \у (Л)) суммарное число арифметических операций оказывается значительное меньщим, чем при алгоритме (12.73). Подобную более экономную обработку иногда называют «скоростной сверткой».

БПФ IN

ОБПФ

Рис. 12.44. Вычисление корреляционной функции сигнала с помощью БПФ



[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [ 130 ] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169]

0.0013