Приравнивая в (13.4) (х) = 5 (со) е«< и р2(х) = /С(о))е[*<""+"°], записываем неравенство (13.4) в форме

8Ца) dco.

2я .

/С (о)) do)

Тогда выражение (13.3) позволяет составить следующее неравенство: 1

«вых (о) Овых

у S(co)K(co)e[V-)+P.<-)+-4rf,,

Wo \1/2

- -OO

J S2 (со) rfu) • J (CO) dco

/ir„\l/2 С

(со) dco

«7

(13.6)

Учитывая, что выражение в квадратных скобках правой части этого неравенства есть не что иное,, как полная энергия Э входного сигнала [см. (2.66)], приходим к следующему результату:

5вых(оЖых<К5/1Г„. (13.7)

Наконец, из выражения (13.5) следует, что это неравенство обращается в равенство при выполнении условия

К (со) е ] = Л8* ((О) = Л5 (со) e"""

или, что то же,

К (гсо) = К (со) е-й" = AS* (со) е-»" = AS (со) е" (б*») + (13.8)

Полученное соотношение полностью определяет передаточную функцию фильтра, максимизирующего отношение сигнал-помеха на выходе (при входной помехе типа белого шума).

Функция К (ш), отвечающая условию (13.8), согласована со спектральными характеристиками сигнала - амплитудной и фазовой. В связи с этим рассматриваемый оптимальный фильтр часто называют согласованным фильтром.

Итак, отношение пика сигнала к среднеквадратическому значению помехи на выходе согласованного фильтра определяется равенством

(13.9)

Из соотношения (13.8) вытекают следующие два требования к согласованному фильтру:

Рис. 13.2. Соотношение между фазовыми характеристиками спектра сигнала на входе и выходе согласованного фильтра

Рис. 13.3. Спектральная плотность сигнала и АЧХ согласованного фильтра (а) и энергетические спектры на входе и выходе фильтра (б)

ФЧХ фильтра должна отвечать условию

Ф<И = -[в,И-f сй; (13.10) АЧХ должна отвечать условию

К (а) = AS (а). (13.11)

В тех случаях, когда под комплексной передаточной функцией подразумевается безразмерная величина (например, отношение комплексных амплитуд напряжения на выходе и входе), постоянный коэффициент А должен иметь размерность, обратную размерности спектральной плотности сигнала.

Соотношения (13.10), (13.11) имеют глубокий физический смысл. Первое из них можно назвать условием компенсации начальных фаз в спектре сигнала, поскольку фазовый сдвиг в фильтре -6 (со) равен по величине и обратен по знаку начальной фазе соответствующей составляющей спектра S (со) входного сигнала. В результате прохождения сигнала через фильтр с фазовой характеристикой (рц (со) сложение всех компонентов спектра, скорректированных по фазе, образует пик выходного сигнала. Слагаемое фазовой характеристики ф; (со), равное -со, указывает на то, что пик задержан относительно начала сигнала s (t) на время tg.

Связь между ФЧХ Э, (со) входного спектра, ко.мпенсирующей ее характеристикой фильтра - 9 (со) и полной ФЧХ фильтра (pk ~ = - [8, (й)) + atg] поясняется рис. 13.2.

После прохождения через фильтр спектр выходного сигнала будет иметь фазовую характеристику

Кых («) = 9. («) + 4>к М = в, (со) -f { -е, (со) -cool = -«0. (13.12) показанную прямой линией на том же рисунке.

Соотношение (13.11), устанавливающее, что АЧХ фильтра К («) должна по своей форме совпадать с амплитудным спектром сигнала S (со), также легко поддается физическому истолкованию. При АЧХ К («), отвечающей условию (13.11), фильтр пропускает спектральные составляющие шума неравномерно, с тем большим ослаблением, чем меньше модуль 5 (со). Это приводит к существенному уменьшению мощности шума на выходе фильтра. На рис. 13.3, бэта мощность определяется площадью (заштрихованной) под кривой Цвы! (») = К (<«) 0- (Для наглядности характеристики на рис. 13.3 построены в предположении, что AS (0) = 1.)

Ослабление сигнала из-за неравномерности характеристики К (w) выражено в меньшей степени, чем ослабление шума, поскольку уменьшение К («) имеет место для спектральных составляющих, вклад которых в пико-

вое значение сигнала сравнительно мал. В результате получается ослабление шума относительно сигнала. В сочетании с устранением фазовых сдвигов между спектральными составляющими сигнала это и приводит к максимизации отношения сигнал-помеха на выходе фильтра.

13.3. ИМПУЛЬСНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА СОГЛАСОВАННОГО ФИЛЬТРА. ФИЗИЧЕСКАЯ ОСУЩЕСТВИМОСТЬ

Тот факт, что коэффициент передачи согласованного фильтра К (гю) является функцией, сопряженной по отношению к спектру сигнала S (ю), указывает на существование тесной связи также и между временными характеристиками фильтра и сигнала. Для выявления этой связи найдем импульсную характеристику согласованного фильтра.

Применяя выражение (5.39) и учитывая формулу (13.8), получаем

оо оо

g(t)J- г K(i(o)e»dco = - Г S* (со) е»*-*»Ло. (13.13)

- оо - оо

Учитывая, что S* (ю) = S (- со) и переходя к новой переменной щ- -(О, переписываем выражение (13.13) следующим образом:

g(t)= -

S(«i)e~"(-«>d(Oi =

j S(coi)e™<»-)d(Oi.

(13.14)

Правая часть этого выражения есть не что иное, как функция As (tg -t). Следовательно, если задан сигнал s (t), то импульсная характеристика согласованного (оптимального) фильтра g (t) определяется как функция

git) Asitg-t), (13.15)

т. е. импульсная характеристика по своей форме должна совпадать с зеркальным отражением сигнала.

Построение графика функции s (tg - t) показано на рис. 13.4 Кривая S (-t) является зеркальным отражением заданного сигнала s (t) с осью ординат в качестве оси симметрии. Функция же s (tg - t), сдвинутая относительно S (-t) на время 4 вправо, также зеркальна по отношению к исходному сигналу S (t), но с осью симметрии, проходящей через точку to/2 на оси абсцисс. На рис. 13.5 показано аналогичное построение для случая, когда отсчет времени ведется от начала сигнала.

Поскольку импульсная характеристика физической цепи не может начинаться при О [отклик фильтра не может опережать воздействие б ()1,

Рис. 13.4. Построение функции, зеркальной по отношению к сигналу

Рис. 13.5. Построение импульсной характеристики согласованного фильтра