ФЧХ - форму квадратичной параболы. Таким образом, точные выражения заменяются приближенным (см. пояснения к формулам (3.50) и (3.51)]

5 (со) « Ад Tj2Vm = const, cOq -< ю < «о + «д

(13.36)

со„ + СОд. (13.37)

В § 3.7 было показано, что такое приближение тем лучше, чем больше т - 2/д Гр (постоянный фазовый сдвиг л/4 опущен).

При отсчете времени от начала импульса фазовый спектр сигнала запишем в виде

[(О-(Op)

(аТс

(13.37)

Для сигнала с подобными амплитудными и фазовыми спектрами согласованный фильтр должен иметь прямоугольную АЧХ и ФЧХ, определяемую выражением

Фк(«)= -ез((о)-(0Ге =

т

-С0Ге =

(13.38)

Строго прямоугольная АЧХ также неосуществима. Поэтому дальнейшее упрощение заключается в замене прямоугольной амплитудной характеристики характеристикой реализуемого полосового фильтра. После этого фильтр может быть осуществлен в виде сочетания двух линейных четырехполюсников: полосового резонансного фильтра (обычный усилитель промежуточной частоты приемника) и специального четырехполюсника с равномерной АЧХ и квадратичной ФЧХ.

Заметим, что фазовой характеристике (13.38) соответствует групповое время запаздывания узкополосного сигнала

= - т

в качестве устройства с требуемой ФЧХ может быть использована любая цепь, у которой задержка в некотором частотном диапазоне (вблизи частоты (Оо) линейно зависит от частоты. Такими свойствами обладают, в частности, дисперсионные ультразвуковые линии задержки.

Определим сигнал на выходе фильтра. При этом будем иметь в виду не аппроксимированный, а точно согласованный фильтр, передаточная функция которого отвечает условию (13.8).

Основываясь на соотношении (13.18),воспользуемся выражением (3.106) для корреляционной функции входного сигнала, введенным в § 3.11:

itm {т/Тс)

Заменяя в этом выражении т на - Г и ограничиваясь рассмотрением участка вблизи точки i = Т, т. е. в окрестности точки, где выходной сигнал достигает пикового значения, можем считать т/Гр С 1-

Тогда

Ba{t-T,)

з!п[(лт/Гс) (t-Tc)] (ntn/Tc) (t-Tc)

COS(Oo(-7e).

Учитывая, что m == (1/л) сОдГ [см. (3.38)], последнее выражение перепи-

шем в несколько иной форме

Bait-П)

£2 7 sin СОд (/ - Гс)

cos(0o(-7c)-

(13.39)

Подставляя полученное выражение в (13.18), находим напряжение на выходе согласованного фильтра

*вых

5!пй)д(<-Гс) й)д(-Гс)

COS (oj;-rj =

= t/3b,x(0cOS (Оо(-П),

где огибающая

(13.40)

вых(0=у4£§Ге

(13.41)

sin мд [i - Tc)

Заметим, что частота заполнения не модулирована и равна «о. т. е. средней частоте входного сигнала.

Поясним этот важный результат. ЛЧМ импульсу, определяемому выражением (13.25), при т > 1 соответствует амплитудный спектр прямоугольной формы и фазовый спектр в виде квадратичной параболы. После прохождения через согласованный фильтр амплитудный спектр остается прямоугольным, а фазовый спектр принимает вид линейной зависимости дх = = - (о) - (Оо) 0 в пределах - сОд < о) < ©о + сОд. Тем самым эффект ЧМ снимается и спектр приобретает вид двух лепестков прямоугольной формы (одного в области со > О и другого в области со <; 0), симметричных относительно частот ±«>о и с линейным фазовым спектром. В соответствии с теоремой о смещении спектра (см. п. 3 § 2.8) подобная структура спектра соответствует функции времени вида А (t) cos соо t, где А (t) - медленная функция, имеющая смысл огибающей амплитуд сжатого сигнала. Спектральная плотность функции А (t) получается сдвигом упомянутых двух лепестков на СОо к нулевой частоте и в рассматриваемом примере (ЛЧМ импульс) имеет форму прямоугольника с основанием, равным 2сод, с центром в точке со = 0. По аналогии с п. 4 § 2.10 (см. рис. 2.19), заменив со и сОд, придем к А (t) в виде функции sine (2л/д).

Очевидно.что отсутствие модуляции высокочастотного заполнения сигнала на выходе согласованного фильтра имеет место при любом законе ЧМ входного сигнала. При определении же огибающей выходного сигнала необходимо учитывать изменение формы амплитудного спектра сигнала в фильтре (при непрямоугольной форме на входе фильтра).

Определим пик сжатого сигнала при нормировании энергии выходного сигнала к энергии сигнала на входе [см. (13.26)], в данном случае

В, (0) = 5 = Т„ а В, (т) « 1/2ЕЬТ, "" cosсОот. Поэтому

вых \o) -

1 с sinwnT

П1/2

Гг.-

с 2f

Рис. 13.11. ЛЧМ импульс на входе согласованного фильтра (а) и сжатый сигнал на выходе (б)

Подставив cosfOoT = + /2 cos 2 и отбросив интеграл с подынтегральной функцией, содержащей множитель cos 2 ШдТ, а также учитывая

со

равенство J " dx = л, получаем окончательный результат

1 Г siii!

2сОд J

Таким образом, выражение (13.41) можно переписать в форме вых(0 = Кт£о """/"У • (13.42)

Сигналы на входе и выходе фильтра изображены на рис. 13.11 (при = = 1). Наибольшая амплитуда выходного сигнала (в момент t = в Ут раз больше, чем на входе, а длительность основного лепестка, отсчитываемого между двумя нулями, равна 1 д. Длительность выходного импульса на уровне 1/У2 от максимального значения Грых » 0,89/2/д.

Таким образом, отношение

Гс/Гевых 1,1-2/дП, (13.43)