Главная  Цепи и сигналы 

[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [ 140 ] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169]

Глава 14. ПРЕДСТАВЛЕНР1Е СИГНАЛОВ

НЕКОТОРЫМИ СПЕЦИАЛЬНЫМИ ФУНКЦИЯМИ

14.1. ВВОДНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ

В § 2.2 отмечалось, что в зависимости от класса сигнала ортогональные системы специальных функций могут быть подобраны таким образом, чтобы требуемая точность представления обеспечивалась при минимуме членов ряда.

Условия ортонормированности этих функций на заданном интервале (а, Ь) записываются в форме

j Ф« ix) Фт {Х) р (Х) dx =

0 при П /71, jj

1 при п =т.

От определения (2.4) это выражение отличается множителем р (л:) под знаком интеграла, называемым весовой функцией или функцией веса. Говорят, что функции ф„ (л:) и фт (х) ортогональны с весом р (х). Это означает, что ортогональны не эти функции, а функции Vp (х) ф„ (х).

При определении коэффициентов обобщенного ряда Фурье, аппроксимирующего функцию / (х), следует исходить из формулы, аналогичной (2.9), но с учетом весовой функции р (х):

Сп =

-- f / ix) Ф„ {X) р (X) dx, (14.2)

VnVpf =-\n{x)p{x)dx (14.3)

- квадрат нормы функции ф„ (x)Vp (х).

Для представления сигналов наиболее употребительны ортогональные полиномы и функции Лежандра, Чебышева, Лагерра, Эрмита, а также кусочно-постоянные функции Хаара, Радемахера и Уолша.

Для представления непрерывных сигналов необходимо использовать систему непрерывных ортогональных функций, для представления дискретных (цифровых) сигналов - систему дискретных ортогональных функций, которые получаются из непрерывных функций путем дискретизации.

Ортогональные полиномы и функции Лежандра, Чебышева, Лагерра и Эрмита (им посвящены § 14.2 и 14.3) используются преимущественно для представления непрерывных сигналов, а функции Уолша чаще используются для представления дискретных сигналов. Последние приобрели особо важное значение в связи с развитием вычислительной техники. Рассмотрению непрерывных функций Уолша посвящены § 14.4, 14.5, а дискретных - -§14.6.



14.2. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПОЛИНОМЫ И ФУНКЦИИ НЕПРЕРЫВНОГО ТИПА

Перечислим некоторые из наиболее часто применяемых полиномов и кратко рассмотрим их свойства.

1. Полиномы Лежандра (первого рода), определяемые фор -мулой

d"

2" 1 dx

(14.4)

ортогональны с весом р (х) = 1 на интервале- I <Z х <С 1. При целых /10 полиномы Рп (х) содержат конечное число членов.

Полиномы Лежандра низших степеней, графически представленные на рис. 14.1, определяются выражениями

Рд (х) = 1, Рг (х) =х. Pi (X) - V2 (3x-1), Р, (х) =Va (5х»-3х), (х) =

= 1/8(35x-30x3). (14.5)

Квадрат нормы функции Рп (х) в соответствии с формулой (14.4) [32,331

(14.6)

Выражение (2.9) для коэффициентов с„ принимает при этом форму

2п+\

j / (X) Р„ ix)dx, - 1

а ряд (2.8)

/ (х - Со Ро (х) +с,Р,(хУ+...+СпРп{х) + ...

2. .Полиномы Чебышева (первого рода) определяются как

(14.7) (14.8)

{2п)1 а;"

(14.9)


Рис. 14.1. Графики полиномов Лежандра

Полиномы Чебышева низших степеней

Го(х)=1,Г1()-х, Т2(Х) = = 2x2 - 1, Гз (;) 43 3;

8х*- 8x2 + 1, (;) 1б;5 20х« + + 5х.

На рис. 14.2 представлены графики полиномов Тп {х) на интервале 0< <;х< 1, а на рис. 14.3-одного из них, в частности четвертого порядка, при О < х< V4. При х > 1 Тп {х) стремится к бесконечности как 2"-- х".

Важной особенностью полиномов Чебышева является то, что из всех многочленов степени п со старшим коэффициентом, равным единице, онина-




0 0,1 0,3 0,5 0,7 . /

Рис. 14.2. Графики полиномов Чебышева

именее уклоняются от нуля на отрезке - К а;<: 1. Благодаря этому свойству полиномы Чебышева обеспечивают наименьшую максимальную ошибку равномерной аппроксимации на интервале- 1 <::х< 1.

Полиномы Чебышева не ортогональны, но после умножения на

1/ Vl - они образуют ортогональную в интервале - 1 <С x<; 1 систему функций (1/V 1 - х) Т„ (х). Иными словами, полиномы Тп (х) ортогональны с весом р (х) = 1/Vl - х:

Тп (х) Тп, (х)

о при пфт,

- при п - т. 2

Кроме того, при т = п = О 1 • 1

Г Тп{х)Т„,{х)- f

J. 1/1 2 J

(14.10)

(14.10)

Таким образом, норма ToVp == Vn и IITnVpH = Vn/2. При разложении функции / (л:) по полиномам Чебышева (с учетом То (х) = 1) коэффициенты ряда

f(x)=Co-f 2 Т„ (х), -К х< 1,

должны определяться в соответствии с (14.2) и (14.10), (14.10) следующими вырджениями:

г f Jx) Тп jx)

(14,11)


Поведение полиномов Чебышева в ин- ~-Ll

тервале - 1 < х < 1 в сочетании с неогра- Z

ничейным возрастанием Т„ (лг) при x > 1 р„с. н.з. График полинома

делает эти полиномы очень эффективными Чебышева четвертого порядка



[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [ 140 ] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169]

0.0011