Главная  Цепи и сигналы 

[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [ 142 ] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169]


о 0,4 0,8 /,2 i,6 1,0 X

Рис. 14.7. Графики нормированных функций Эрмита

совая функция р (х) должна достигать максимума на участке, где требуется наилучшая аппроксимация. При этом появляется возможность уменьшения числа членов ряда при заданной допустимой ошибке аппроксимации. Выбором весовой функции можно также осуществить аппроксимацию процессов конечной длительности полиномами второго класса (определенными на бесконечном отрезке). Для этого необходимо, чтобы эффективная длительность весовой функции была близка к длительности аппроксимируемого сигнала.

14.3. ФУНКЦИИ УОЛША

Функции Уолша и Радемахера, известные с 1922 г., были надолго преданы забвению. Интерес к этим функциям и широкое их распространение связаны с развитием вычислительной техники.

Существуют различные способы определения функций Уолша. Рассмотрим способ, основанный на взаимосвязи функций Уолша с функциями Радемахера. Последние, в свою очередь, получаются из синусоидальных функций с помощью соотношения

(0) = sign [sin (2* я0)], О < 0 < 1, (14.19)

где аргумент 0 = tlT есть безразмерное время, т. е. время, нормированное к произвольному интервалу Гд, а целое положительное число k - порядок функции. Символом sign (сигнум-функция) обозначается функция

1 при л: > О,

- 1 при х< 0.

В соответствии с (14.19) и (14.20) функции Радемахера, принимающие одно из двух значений ± 1, имеют вид меандра (рис. 14.8).

Функции Радемахера ортонормиро-ваны (см. § 2.2) с единичной весовой функцией на интервале О < 0 < 1. Действительно, для любых двух функций (0), (0) имеют место соотношения 1

sign X ~

(14.20)

О--1

\ Гт (6) Гп (0) d0 =

~\ ГП

1 п п п

1 п п п

и U U и

Z7( С

и U U L

,5 У 1

при т=Пу при тфп.

Рис. 14.8. Первые четыре функции Радемахера



Все функции Радемахера являются нечетными относительно середины интервала определения и, следовательно, не могут быть использованы для аппроксимации сигналов S (0), четных относительно момента Э = 1/2. Иными словами, система функций Радемахера - неполная (см. § 2.2).

Функции Уолша, образующие полную ортонормированную систему, можно сформировать, образуя произведения степеней соответствующих функций Радемахера. Первые восемь функций Уолша представлены на рис. 14.9. Сопоставление этих функций с функциями Радемахера (рис. 14.8) позволяет составить очевидные, по крайней мере для первых четырех функций Уолша, соотношения

wal (О, 0) = г? (0) г§ (0) = 1, wal (1, 0) (0) г§ (9) = = Г1 (0), wal (2, 0) =-- Г1 (0) Гг (0), wal (3, 0) = г? (0) (0) = (0).

Нетрудно также проверить правильность соотношений wal (4, 0) =г? ф) г г (0) гз (0) - Гг (0) гз (0), wal (5, 0) =ri Щ г.. (0) Гз (9), wal (6, 0) = Г1 (0) г% (0) Гз (0) = н (9) Гз (0), wal (7, 0) = г? (0) г? (0) г., (0) = Гз (0).

Итак, каждая функция Уолша wal {w, 0) за номером ш, входящая в систему из /V =2" функций, является произведением степеней первых п функций Радемахера. Принцип нахождения показателей этих степеней поясняется табл. 14.1 на примере JV = 2 = 8.

В таблице использованы следующие обозначения: w - номер функции в системе (в десятичном счислении); Wm- гп-я разряд представления числа W в двоичной системе счисления, т. е.

w = {Wx W2...w ...ш„)2= пУх 2"- 2"-2 + ... + ш 2"-» +

+ ... + ш„2<>= 2 0)2"-"= 2 Wn-m + i2"-K (14.21)

m- 1 m = l

~l П

1 1

1 1 "

- 1........ 1

~1 П

J I Г1 Г"

1 1 1

J i

«

1,0 в

Рис. 14.9. Первые восемь функций Уолша и их нумерация при различных способах упорядочения



Таблица 14.1

r(e) X r® X r-(B) = \xio\.(w,e)

5 5 7

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 1 1 1 1

rf(B) X

г1(в) X rl(S) X г/® X

4(9) X rl(5) X

3"

r-i(B) r-i(9)

\ай\(0,в)

\лй\(г,в)

ujal ft.j u) al [5,0) \л\(6,В} Viu\(7,8)

В выражении (14.21) n = \og N - число разрядов, w (m) может принимать одно из двух значений - нуль или единица, а равно нулю по определению.

Символ ф обозначает поразрядное суммирование по модулю 2 по правилам

1ф1 = 0©0 = 0, 1фО = Ое1-=1.

(14.22)

Показанный в табл. 14.1 способ построения функций Уолша можно выразить аналитически для любого N = 2 в виде следующего соотношения:

wal (w, 6) = П [Ги {Q)fn-k+\®n~k

(14.23)

Поясним применение (14.23) на примере шестой функции Уолша (w =6), входящей в систему размером N = 2 =8. Произведение в (14.23) состоит из трех множителей вида

при k = l [ri (e)]=®s при k-2 (6)]»®", при /г=3 [Гз (в)]"-©"».

Подстановкой в левую часть (14.21) ш ~ 6 и п = 3 получаем 6 = Ш122 + Ш221+Шз2в,

откуда следуют равенства = 1, - 1. из = О-Таким образом,

Шз ф ffia = О ф 1=1, да. ф Шх = 1 ф 1=0, @ Wq = \ ф О = 1 и по формуле (14.23)

wal (6, 0) г, (0) г1 (0) гз (0) (9) Лз(9).

Из рис. 14.9 видно.что четным относительно середины интервала определения (9 = 0,5) функциям wal (ш, 0) соответствуют четные номера w,& нечетным функциям - нечетные номера. Такое взаимно-однозначное соответствие между четностью функций wal {w, 9) и четностью их номеров w



[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [ 142 ] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169]

0.002