Главная  Цепи и сигналы 

[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [ 143 ] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169]

аналогично свойствам тригонометрических функций cos (k и sin (k t\ (рис. 14.10).

Поэтому иногда применяются обозначения cal (/, 6) для четных и sal (г, 0) для нечетных функций Уолша. Легко проверить, что функции са1(/, 0) и sal (У, 6) связаны с функциями wal (w, 0) следующими соотношениями:

са! (/, 0) = wal (2/, 9), sal (/, 9) = wal (2/ -1,9).

Зги обозначения указаны в таблице на рис. 14.9. Функции Уолша ортонормированы на интервале О < 9 < 1:

wal {k, 9) wal (г, 9) dQ

1 при k = i, О при к=ф1.

(14.24)

Функции Уолша обладают свойством мультипликативности, т. е. перемножение двух функций Уолша дает другую функцию Уолша, причем

wal (k, 9) wal (г, 9) = wal (k ф i, 9).

(14.25)

Функции Уолша wal»(j, 0) обладают свойством симметрии, проявляющимся в том, что все выводы относительно i справедливы также и относительно 0. V

Например, свойство мультипликативности (14.25) с учетом свойства сршг метрии запишется в виде

wal (г, 0i) wal (г, 02 = wal (г, Oj, ф Ог).

(14.26)

Умножение любой функции Уолша самой на себя дает функцию нулевого порядка wal (О, 0), так как в результате получаются только произведения вида (+1)(+1) и (-1) (-1). Таким образом,

wal (г, 0) wal (г, 9) = wal (О, 0).

Очевидно также, что умножение wal (г, 0) на wal (О, 0) не изменяет функцию wal (i, 0).

Функции Уолша иногда определяют на интервале- 1/20 < 1/2. Первые восемь функций на указанном интервале представлены на рис. 14.11.

Функции Уолша могут служить базисом спектрального (негармонического) представления сигналов.

cos d-t)

Sin(2.i) cDs(2-t)-t


1,0 f/T

Рис. 14.10. Четность номеров косикусои-дальных и нечетность номеров синусоидальных функций

Рис. 14.11. Первые восемь функций Уолша на интервале -0,5<6<0,5

--F=

/ -1

-\- 1

/ -

J 1

-=т-

Ы 1

ш\(0,в) вa.\(f,0) ша1 (1,0) \аа\(3,3)

\i>a\(5,S)

-mU7,0J

0.5 0



„ппп

Пуск

Гwepamop меанЭро-.Вогоше-5ания

rJe)*u/2

rf(S)+u/Z

О, и

Рис. 14.12. Генератор первых восьми функций Уолша


Любую интегрируемую на интервале О < 6 < 1 функцию / (6) можно представить рядом Фурье по системе функций Уолша

/ (9) - Л (0) + А (1) wal (1, 9) + Л (2) wal (2, 9) + ... + ... + Л (О wal (г, 9) (14.27)

с коэффициентами

Л(0= /(9)wal(/. 9)d9, Q = t/t.

(14.28)

Вне полуоткрытого интервала [0,1) ряд (14.27) описывает периодическую функцию / (9 -f k), где k - любое целое число.

Некоторые особенности разложения непрерывных функций по системе Уолша иллюстрируются в § 14.5 на примерах.

Как уже ранее отмечалось, функции Уолша, широко используемые в задачах вычислительной техники, могут быть легко реализованы с помощью ключевых схем. Один из возможных вариантов схемы генератора первых восьми функций представлен на рис. 14.12.

Алгоритм формирования функций Уолша в этом генераторе основан на выражении (14.22), т. е. на перемножении степеней трех функций Радемахера: Гх (9), Гз, (9) и Гз (9). Функция (9) получается непосредственно от генератора меандрового колебания. Вторая функция (9) получается из Гз (9) удлинением периода этого колебания в 2 раза. Это достигается с помощью триггера со счетным входом (на рис. 14.12 изображен D-триггер Tj в счетном режиме 1), запускаемого фронтом каждого периода меандра. Аналогичным способом из Гз (0) получается функция (9). Таким образом, на выходах триггеров Ti и Та получаются функции Радемахера, смещенные по уровню на положительную величину ul2, т. е.

Г1 (0) + ul2, Гз (9) + ul2 и Гз (9)+ «/2.

См. Алексенко А. Г. Основы мнкросхемотехнИки. -М.: Сов. радио, 1977.



Указанные смещенные функции соответствуют функциям Уолша wal (1, 0), wal (3, 6) и wal (7, 0) (также смещенным). Для получения остальных функций Уолша используются сумматоры по модулю 2 (на рис. 14.12 обозначены М2) с инверсными выходами. Подобные сумматоры представляют собой устройство совпадения, которому соответствует следующая таблица истинности:

Вход X

Вход у

Выход с инверсией

Вход X

Вход у

Выход с инверсией

Легко убедиться, что при подаче на сумматор функций (9) + ul2 и Га (Э) + ы/2 на выходе получается функция Уолша wal (Х0)+«/2, т. е. эффект, эквивалентный перемножению соответствующих функций (9) и Га (В) (см. табл. 14.1).

Аналогично при объединении в сумматоре функций (6) -f w/2 и Гз (В) + м/2 имеем wal (4, В) + ul2 и т. д.

Для получения несмещенных функций Уолша, которые могут принимать значения + 1, -1, используются коммутаторы на операционных усилителях ОУ1 - ОУ7 (с большим коэффициентом усиления для сокращения длительности фронтов). На инвертирующие входы усилителей задается смещающее напряжение+ £см> выбираемое из интервала Осм"- Если поступающее с сумматора напряжение и > £см> то на выходе коммутатора возникает напряжение -f Е, при и < см - напряжение - Е, что соответствует + 1 и -J.

функции wal (1, В), wal (3, В) и wal (7, В) получаются без обращения к сумматорам.

14.4. РАЗЛИЧНЫЕ СПОСОБЫ НУМЕРАЦИИ ФУНКЦИЙ УОЛША

Способ нумерации функций в системе называется упорядочен и-е м. Функции Уолша, сформированные в соответствии с выражением (14.22), упорядочены по Уолшу.

В ряде практических задач целесообразно пользоваться иными способами упорядочения. Часто применяются функции Уолша, упорядоченные по Адамару [had (Л, В)] и по Пэли [pal {р, B)]i.

Независимо от упорядочения функции Уолша, составляющие систему из = 2" функций, всегда можно представить в виде произведения степеней первых п функций Радемахера. Принцип же нахождения показателей этих степеней индивидуален для каждого упорядочения.,

Остановимся более подробно на упорядочении по Адамару, получившем широкое распространение.

Функции had (/г, В) можно сформировать с помощью матриц Адамара. Матрицей Адамара Ны порядка N = 2< называется квадратная матрица размера N X N с элементами ± 1, такая, что

где / - единичная матрица; т - знак транспонирования.

1 Обозначения had (Л, в) и pal (р, в) образованы от начальных букв фамилий Hadamard и Peley соответственно.



[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [ 143 ] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169]

0.0012