Нормированную матрицу Ада-мара порядка можно построить рекурсивно, т. е.

Hn =

Hn/2 -Hn/2 .

при Hi=l. Например,

(14.29)

и т. д.

функция Уолша, упорядоченная но Адамару, т. е. had {h, 6) с номером h, является последовательностью прямоугольных импульсов с единичными амплитудами и полярностями, соответствующими знакам элементов /г-й строки матрицы Адамара. Под длительностью импульсов подразумевается (1/Л)-я доля интервала [0,1].

Для иллюстрации связи между функцией had {h, 9) и матрицей Адамара, а также для определения места этих функций в системе приведем матрицу Адамара для Л = = 8 = 2, заменяя 1 и - 1 знаками соответственно

Рнс. 14.13. Нумерация функций Уолша при различных способах упорядочения. Размер базиса Л=16

ПЛЮС И минус:

Нумерация первых восьми функций Уолша при различных способах упорядочения дана в таблице на рис. 14.9, а для 16 функций-в таблице на рис. 14.13. В этих таблицах указана также нумерация функций Уолша при упорядочении по Пэли.

Следует указать, что введенные выше упорядочения вытекают из свойства симметричности матрицы Адамара, заключающ,егося в том, что транспонированная матрица совпадает с исходной: = Н}- Как видно из предыдущего, введенные упорядочения отвечают симметричности соответствующих им матриц.

Не следует полагать, что упорядочениями Уолша, Пэли в Адамара исчерпываются все возможные упорядочения. Отмеченная в предыдущем параграфе ортонормированность функций Уолша сохраняется при любом способе их упорядочения.

14.5. ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ ФУНКЦИЙ УОЛША

1.Спектрсинусоиды5(0=81Пу-(рис. 14.14, а) в базисе функций Уолша.

Интервал разложения в данном случае целесообразно приравнять величине Т.

Переходя к безразмерному времени 6 = tIT, записываем колебание S {t) в форме Sj (9)=sin 2я6. Ограничимся 16-ю функциями, причем сначала выберем упорядочение по Уолшу. Поскольку заданная функция Si (6) нечетна относительно точки 6 = Vg, все коэффициенты А (г) при четных функциях Уолша в ряде (14.27), т. е. при cal (/, 9), равны нулю.

Те из оставшихся восьми функций wal (г, 9), которые совпадают с функциями Радемахера и имеют периодичность внутри интервала [0,1), кратную периоду функции Sj (9), также приводят к нулевым коэффициентам А (г). К таким функциям относятся wal(3, 9), wal (7, 9) и wal (15, 9). Наконец, функция wal (11, 9), нечетная не только относительно точки 9 = Vj, но также относительно точек 9 = V4 и 0 = % [внутри интервалов [0,V2>h (Vg, 1)[, приводит к нулевому коэффициенту А (11) из-за четности (9) в указанных интервалах.

Итак, лишь четыре коэффициента из 16 не равны нулю: А (1), А (5), Л (9) и Л (13). Определим эти коэффициенты по формуле (14.28). Подынтегральные функции, являющиеся произведениями сигнала Sj (9) (см. рис. 14.14, а) и соответствующей функции wal (г. О), представлены на рис. 14.14, б - д. Кусочное интегрирование этих произведений дает

Л(1)==2 j sin 2ned9 = 2/л = 0,636,

2/16 6/16

Л(5)==4 j sin2n0d9-2 J sin 2я9й9 =-1-2cos-]=-0,265,

о 2/16

1/16 3/16 5/16

Л(9) = 4 j sin2n0d9.-4 Г sin2n9d9 + 2 j" sin 2n9d0 =-0,052,

0 1/16 3/16

1/16 2/16 3/16

Л (13) = 4 С sin2n9d0-4 j sin2n0d9 + 4 J sin2n9de - d 1/16 2/16

5/16

-2 J sin 2я9й9-0,128.

3/16

Спектр рассматриваемого сигнала Sj (0) в базисе функций Уолша (упорядоченных по Уолшу) представлен на рис. 14.15, а. При упорядочении

Sf(S)V)A (5,8)

МхЩВ)

1/ \

щ(В)\ап(1Ъ,в)

0,1 О -0,2

0,4 0,1 О -0,1

-о,и

А 0,6

0.2. О

-0,1

\ I I

2 4

5 в ЧО ИЫ15 W

2 «

. . . , I , I I I . 8 iO\lZ44 15р

Рис. 14.14. Стробированне отрезка синусоиды функциями Уолша

Рис. 14.15. Спектры синусоиды в базисе функций Уолша, упорядоченных по Уолшу (а), Пэлн (б) и Адамару (в). Размер базиса А=16

ПО Пэли И Адамару спектр того же сигнала принимает вид, показанный на рис. 14.15, б и в. Эти спектры получены из спектра на рис. 14.15, а перестановкой коэффициентов в соответствии с таблицей (см. рис. 14.13), показывающей взаимосвязь между способами упорядочения функций Уолша (для Л = 16).

Для уменьшения искажений при восстановлении колебания ограниченным числом функций Уолша предпочтение следует отдавать упорядочению, которое обеспечивает монотонное убывание спектра. Иными словами, наилучшим является упорядочение, при котором каждый следующий спектральный компонент не больше (по модулю) предыдущего, т. е. \ А (г4- 1)1 < И (01-В этом смысле наилучшим упорядочением при представлении отрезка синусоиды, как это следует из рис. 14.15, является упорядочение Пэли, а наихудшим - Адамара.

Восстановление исходного сигнала (см. рис. 14.14, а) шестнадцатью функциями Уолша представлено на рис. 14.16 (двенадцать спектральных коэффициентов обращаются в нуль), От способа упорядочения функций это построение, разумеется, не зависит. Очевидно, что для более удовлетворительной аппроксимации синусоидального колебания в базисе Уолша требуется существенное увеличение числа спектральных компонентов.

Вне интервала [0,1) ряд (14.27), как отмечалось в §14.4, описывает периодическое продолжение (9), в данном примере гармоническую функцию.