Главная  Цепи и сигналы 

[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [ 14 ] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169]

/ Можно, очевидно, и б - t) представить в виде обратного преобразования Фурье от S (со) = e-*":

оо оо

б(-g =.J- j S(co)e"dco=-~ J e"<-»)dco. (2.93)

- oo - oo

Энергия единичного импульса бесконечно велика. При спектральном рассмотрении это вытекает из равенства Парсеваля [см. (2.66)], правая часть которого при 5 (со) = 1 обращается в бесконечность. При временном рассмотрении это следует из того, что энергия импульса, пропорциональная квадрату его амплитуды (т. е. величине 1/t„) и первой степени длительности т,„ с укорочением импульса растет как 1/т„. При т„ -0 энергия бесконечно велика.

Понятие единичного импульса особенно широко используется при исследовании действия коротких импульсов на линейные цепи. При этом не обязательно, чтобы амплитуда реального импульса была бесконечно велика, а длительность бесконечно мала. Достаточно, чтобы длительность импульса была мала по сравнению с постоянной времени исследуемой цепи (или по сравнению с периодом собственного колебания цепи).

Рассмотрим теперь свойства б (со). Все, что ранее было сказано относительно б (t), можно распространить на б (со) при замене на со и со на Л По аналогии с выражением (2.93) можем написать

оо оо

6(co) = -i- j e"dt- e~<dt. (2.94)

- oo -oo

(Перемена знака в показателе степени в данном случае не влияет на значение интеграла, см. §2.8, п. 7.) Соответственно

оо оо

б(со-сОо) = - г eH-<o)tdt=J- Г е-«-««"сгЛ (2.94)

2д J 2д J

2.12. СООТНОШЕНИЕ МЕЖДУ ДЛИТЕЛЬНОСТЬЮ СИГНАЛА И ШИРИНОЙ ЕГО СПЕКТРА. СКОРОСТЬ УБЫВАНИЯ СПЕКТРА

Из предыдущих параграфов уже ясно, что чем меньше длительность сигнала, тем шире его спектр. Для установления количественных соотношений между указанными параметрами сигнала необходимо условиться об определении понятий длительность сигнала и ширина его спектра. В практике применяются различные определения, выбор которых зависит от назначения сигнала, его формы, а также от структуры спектра. В некоторых случаях выбор является произвольным. Так, ширину спектра прямоугольного импульса определяют либо как основание главного лепестка (например, в п. 1 § 2,10), либо на уровне l/j/2 от максимального значения спектральной плотности. Длительность колоколообразного импульса (см. § 2.10, п. 3) и ширину его спектра иногда определяют на уровне 0,606 от максимального значения соответственно s (t) или S (со). Часто пользуются энергетическим критерием, понимая под шириной спектра полосу частот, содержащую заданную долю полной энергии сигнала.

Для практики важное значение имеет также оценка протяженности «хвостов» спектра вне полосы частот, содержащей основную часть энергии сигнала.



1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ПОЛОСАХ ХДЛИТЕЛЬНОСТЬ

Для выявления предельных соотношений, связывающих длительность сигнала и ширину спектра, в современной теории сигналов большое распространение получил метод моментов.

По аналогии с понятием момента инерции в механике эффективную длительность сигнала Гдф можно определить выражением

Гф- J" {t-t,fsHt)dt I j st)dt,

- сю / -оо

где середина импульса определяется из условия

оо I оо

j ts{t)dt j st)dt.

Имеется в виду, что функция s (/) интегрируема с квадратом (сигнал с конечной энергией).

Аналогично эффективная ширина спектра = 2лР.ф определяется выpaжeниeм

j mSm)d4>l -J- j (со) dco.

Так как модуль спектра 5 (со) не зависит от смещения s (t) во времени, можно положить tg = 0. Наконец, сигнал s (t) можно нормировать таким образом, чтобы его энергия Э равнялась единице и, следовательно,

оо оо

J s{t)dt j" S2(co)dco = l.

- oo - oo

При этих условиях выражения для Гдф и Одф принимают вид

Гф= J fs{t)dt, Шф==- J S2 (со) dco,

и, следовательно.

произведение

11/2

длительность X полоса

J ts{t)di -i- j coSadco

Нужно иметь в виду, что Гдф и Одф являются среднеквадратическими отклонениями соответственно от / = /о и со = 0. Поэтому полную длительность сигнала следует приравнять 2T, а полную ширину спектра (включая и область отрицательных частот) - величине 20зф.

Произведение Гэфоф зависит от формы сигнала, однако оно не может быть меньше 1/2. Оказывается, что наименьшее возможное значение "вфаф = соответствует кол околообразному импульсу.

Метод моментов применим не к любым сигналам. Из выражений для Гэф и Оэф видно, что функция s{t) с увеличением t должна убывать быстрее, чем 1 , а функция S (со) - быстрее, чем 1/со, так как в противном случае соответствующие интегралы стремятся к бесконечности (расходятся).

Имеются в виду сигналы без высокочастотного заполнения.

Доказательство приведено в предыдущем издании настоящего учебника. См. также [31].



в частности, это относится к спектру строго прямоугольного импульса, когда

J «2 (со) dco = j ""g? da = 4 J (.-i---L cos coT„j dco oo.

- oo -oo -oo

В этом случае выражение для ГфОдф не имеет смысла и оценку эффективной ширины спектра прямоугольного импульса приходится основывать на иных критериях.

Рассмотрим некоторые простые сигналы типа видеоимпульсов, т. е. сигналов, спектр которых сосредоточен в области низких частот, и определим с помощью равенства Парсеваля энергию, содержащуюся в полосе А/ от 0) = О до некоторой граничной частоты сор = 2nfp:

(со) dco.

Относя затем Зд/ к полной энергии импульса 5, определяем коэффициент т1(/грт„)=.5д, аЭ,

характеризующий концентрацию энергии в заданной полосе.

В качестве исходного сигнала примем прямоугольный импульс, затем рассмотрим треугольный и колоколообразный (гауссовский). Последний особенно показателен, так как для него обеспечивается максимально возможная концентрация энергии спектра в заданной полосе О - /р.

Для прямоугольного импульса в соответствии с (2.68)

3f --

sin (й)Ти/2) (о)т„/2)2

da =

dx =Эг\

гР n

где 5 = Л2т„.

Вычислив интеграл, получим

Мгр и 2

si (со,р т„)

sin (согр Ти/2)

u)rpT„/2

где si (у)

sin.v

dx-интегральный синус.

Переходя к аргументу iIEjlL = я/рТ,,, записываем

si(2nf.,pT„)-il

1гр Тц

Для треугольного импульса, спектральная плотность которого определяется формулой (2.73), а полная энергия Э = A\J3,

Интегрирование по частям дает

о о

2 sin X cos X sin ft - dx- ---- +SI (2b).



[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [ 14 ] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169]

0.001