Главная  Цепи и сигналы 

[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [ 150 ] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169]

К(Р) =

Rl R-i CjCg

2,1 "с

Ri \ С

+ i-/c„

m ;?2 Ci

0)c JRa C,

j 2

+ I-/C0 P +

(J5.3I)

Приравнивая знаменатели в выражениях (15.28) и (15.31), получаем следующие условия для определения параметров схемы:

Мс R С2 V Rl Ci Ci ;

= Ь,= 1.

(15.32)

Постоянную времени цепи R2C2 обычно приравнивают значению,близ-кому к 1/(0с- Тогда и (Oc/iCj 1 [из второго условия (15.32)1; при этом условие (15.32) сводится к равенству

-fei = l + l-f ±s -}/2«0,59 + .

/?j Cj Ci Ci

Задавая Cj/C = 0,4 и, следовательно, R2IR1 = 2,5, получаем /Со 1-В данном примере операционный усилитель, по существу, сводится к эмит-терному повторителю.

Для количественной оценки параметров ФНЧ зададим частоту среза /с = 1000 Гц, а емкость конденсатора == 0,1 мкФ. Тогда

Ci = С2/0,4 = 0,25 мкФ, Rl = 1 /со d 640 Ом, /?2= l/cOgQ 1600 0м.

Приведенный выше пример реализации фильтра второго порядка является лишь иллюстрацией. Для выбора оптимальной схемы и проведения инженерного расчета читатель должен обратиться к специальной литературе.

15.7. ФИЛЬТР ЧЕБЫШЕВА (НИЖНИХ ЧАСТОТ)

Для улучшения аппроксимации идеальной прямоугольной характеристики ФНЧ (см. рис. 15.7) часто применяется аппроксимация по Чебышеву, при которой в качестве функции (х) в формуле (15.19) используется квадрат полинома Чебышева Т„ (х) соответствующего порядка п. При этом формула (15.20) записывается в виде

,К{1х)\==1/[\+гТп (X)],

(15.33)

где X == (о/ (Ор.

Коэффициент е < 1 вводится для ограничения амплитуды пульсации АЧХ в полосе пропускания, т. е. в интервале л: < 1. Чем меньше 8, тем лучше аппроксимируется АЧХ в указанной полосе, но одновременно снижается крутизна ската характеристики в полосе задерживания (при л;> 1). Варьируя коэффициент е и степень полинома п, можно осуществить приемлемый компромисс между противоречивыми требованиями к аппроксимации




1,0 2,0

Рис. 15.11. Амплитудно-частотная характеристика фильтра Чебышева четвертого порядка

характеристики в полосе пропускания и вне этой полосы. *

В § 14.2 указывалось, что значение Т„ (л;) колеблется в пределах ± 1 в интервале \х\<,\ и растет по закону Г„ (х) « 2"- х" при х > 1. График функции К (гх) при = V5 и л = 4 показан на рис. 15.11.

Амплитуду пульсации АЧХ в полосе пропускания, равную

АЛ:--=1-1/]/1+е2

(15.34) .е72

при малых е можно приравнять значению (см. рис. 15.11).

Вне полосы пропускания (при больших х), когда гТ\ (х) > 1, передаточная функция монотонно убывает по закону

1К(«)1«1/е1Г„ {х)\.

(15.35)

Для сравнения аппроксимации прямоугольной АЧХ по Чебышеву с аппроксимацией по Баттерворту найдем ослабление АЧХ при х =3 для фильтра четвертого порядка п = 4, = 1/5. По формуле, приведенной в § 14.2 (или из таблицы полиномов Чебышева), определяем

Г4(3) = 8х*-8x2+ 1 .=.8-3*-8.32 + 1 =574.

Далее,

1 К(13)1 «Кб/574?: 4.10-», l/lK(t3) =250, (1/1К(13))дб = 20 Ig 250 = 20-2,39 ж 48 дБ.

Как видим, при одной и той же степени сложности фильтра (при одинаковых значениях п = 4) ослабление АЧХ у фильтра Чебышева на 8 дБ больше, чем у фильтра Баттерворта. При этом аппроксимация АЧХ в полосе пропускания лучше у фильтра Чебышева: наибольшее отклонение от единицы не превышает eV2 = 0,1 (вместо ~ 0,3 у фильтра Баттерворта).

Определим полюсы передаточной функции фильтра Чебышева. Как и в предыдущем параграфе, записываем выражение (15.33) в форме

K(tx)12 = K(p)K(-;7)p==,,

1+еГМ В(-р2)

(15.36)

после чего находим корни уравнения 82 7х)+1=0, r„(x) = ±i7e.

(15.37)

Опустив промежуточные выкладки [27], приведем окончательные выражения

- sin Фх sh Ф2 + t cos Ф ch Ф2,

Ф1=(2А:+1) , fe = 0,l,2.....(2rt-l).

Фа = -i-arcshf -

п V в /

(15.38) (15.39)



Для полюсов, расположенных в левой р-полуплоскости, получается следующее выражение:

Ph- -sin

(2fe+l)

sh Фз + i cos

(2Д.+ 1)-]сЬФз, 2/г

kQ, l,2,...,(rt-l).

(15.40)

По найденным полюсам .составляется выражение для передаточной функции К (р), аналогичное (15.29):

К(Р) =

Р + Ьг р"-+Ь,р"-+...+Ьп-гР + Ьп

(Р -Pi) iP-Pi) (Р-Рп)

(15.41)

В отличие от фильтра Баттерворта коэффициент 6„ не равен единице (поскольку полюсы передаточной функции расположены не на окружности единичного радиуса, а на эллипсе). Поэтому в числитель вводится коэффициент Ьп для нормирования АЧХ к единице при ю = О (и соответственно р=0).

Численные значения коэффициентов Ь, Ь, Ь„, а также полюсов pi, Рз,..., р„ в Зависимости от степени п и коэффициента неравномерности АЧХ 6 приводятся в литературе по расчету фильтров.

Для иллюстрации синтеза фильтра Чебышева определим схему и параметры фильтра при следующих требованиях: неравномерность в полосе прозрачности не более 3 дБ, затухание при л; = ю/юс = 4 не менее 30 дБ. При заданной неравномерности, приравнивая в выражении (15.34) А/С = 1- - 1/V2, получаем е = 1. Далее по формуле (15.35) находим требуемое значение

1Г„()1=Г„(4)!>1/К(/4)1.

Ослаблению на 30 дБ соответствует уменьшение АЧХ в VlOOO х та 32 раза. При максимальном значении АЧХ, равном единице, получаем следующее условие для определения порядка полинома Чебышева: (4)> 1/32. Перебором первых трех полиномов низших степеней (см. § 14.2) убеждаемся, что полином второй степени при л; = 4, равный (4) = 2х - 1 = = 31, обеспечивает требуемую скорость убывания АЧХ в полосе задерживания. Применяя формулы (15.39), (15.40), находим

1 / 1 \ 1

- arcsh - = .- arcsh 1=0,44, п \ в / 2

Pi =• -sin -

2-2

sh 0,44 + i cos

2-2j

ch0,44 = -0,322 4-/0,777,

P2 = pl -0,322 - i 0,777. Передаточная функция [по формуле (15.41)1 b, Ь,

К(Р) =

(Р-Pi) (P-Pl)

P + biP-\-b

р2 + 0,645р + 0,708

(15.42)

Приравнивая (как и в предыдущем параграфе) коэффициенты полинома в знаменателе выражения (15.31) соответственно = 0,645 и Ьз = 0,708,



[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [ 150 ] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169]

0.0013