Главная  Цепи и сигналы 

[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [ 153 ] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169]

15.11. СИНТЕЗ ЦИФРОВЫХ ФИЛЬТРОВ. ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ

Как и аналоговые, цифровые фильтры обычно синтезируются на основе передаточной функции, представленной в виде рациональной дроби (12.33). В результате соответствующей аппроксимации заданной передаточной функции К (г) определяется положение нулей и полюсов на г-плоскости, после чего находятся весовые коэффициенты а„ и Ьт, входящие в (12.34).

Цифровой фильтр можно реализовать либо в виде совокупности простых звеньев (первого или второго порядка), либо в виде канонической схемы, описанной в § 12.3 (см. рис. 12.6).

При разбиении фильтра на простые звенья отпадают все ограничения, отмеченные в § 15.2 по отношению к аналоговым цепям. В цифровых цепях вопросы согласования входных, выходных и нагрузочных сопротивлений, а также вопросы развязки отдельных звеньев вообще не возникают. В связи с этим наряду с каскадным (последовательным) соединением простых звеньев широко применяется их параллельное включение.

В первом случае функция (12.33) записывается в виде произведения простых множителей, каждый из которых является передаточной функцией звена (см. аналогичное разбиение в § 15.2). Во втором случае функция (12.33) разлагается на простые дроби

К(г)=Л где Afe=

P (£)

Р(г)

dQ (г) /dz

/!=1

-вычет функции К(г)/Ло в полюсе г„.

Если знаменатель Q (г) содержит всего m корней, из которых mj-число вещественных (лежащих на действительной оси), а - число комплексно-сопряженных пар корней (т - + 2т), то

К(г) = /1о

т,

А= 1

m,--m,

Это выражение легко приводится к виду

т, , mi + m.

«Ofc Z-f Oih

z-hz-bh

где aoft 2Re (A); a = -2[Re (z„,) Re (A) + Im(Z„ft) Im (A)]; b = -2Re(z„ft); Ь = - jz.p.

Как в каскадной, так и в параллельной схеме отдельные звенья реализуются по схеме, описанной в § 12.8 (см. рис. 12.21). Весовые коэффициенты звена второго порядка определяются по формуле (12.57), а звена первого порядка - непосредственно из передаточной функции звена.

Существенно различны подходы к синтезу трансверсальных и рекурсивных фильтров.

В § 12.2 отмечалось, что передаточная функция трансверсального фильтра не имеет полюсов и импульсная характеристика является ограниченной последовательностью {g{k)}, fe = 0,1,..., Я, содержащей = Я + 1 отсчетов, где Н - число элементов памяти, а значения g (fe) равны весовым коэффициентам фильтра а. Из этого следует, что заданиейтйпульсной характеристики g (fe) непосредственно определяет как структуру трансверсаль-



ного фильтра, так и его передаточную функцию

К (г) = ао-f % Z-Ч-оз Z-M •

- at т

0 1 г Z 4 к

3 4

0 11

Рис. 15.17. Симметричная (а) и антисимметричная (б) импульсные характеристики трансверсального фильтра

В случае же рекурсивного фильтра структура и весовые коэффициенты более сложным образом связаны с импульсной характеристикой и передаточной функцией. Эти вопросы рассматриваются в следующем параграфе. Здесь мы рассмотрим некоторые особенности синтеза трансверсальных фильтров.

В § 12.8 и 15.10 приводились примеры простейших трансверсальных фильтров со строго линейной ФЧХ. Выявим требования к весовым коэффициентам, при которых обеспечивается линейность ФЧХ при любом значении Л. Используем для этого выражение (12.9) и для сокращения записи ограничимся значением Я - 4, т. е. jV = 5:

K(e"0==ao+aie-" + a2e

-(2шГ

-f аз е

- 13шГ

-faie

Соответствующая этой передаточной функции импульсная характеристика g (k) представлена на рис. 15.17, а.

Наложим условие симметрии весовых коэффициентов, т. е. uq == а, «1 = аз, и вынесем за скобки множитель е-":

К (е*") = е-<"2г е2"Г е» -f Оа + е-"+а е- = ± е - «Р «"Г) 12ао cos 2о)Т -f 2ai cos соГ + 1.

Выбор знака плюс или минус перед правой частью приведенного выражения зависит от соотношения коэффициентов йо, % и <2, а также от их знаков, фазовая же характеристика ф (соГ) линейна и определяется как

где k = 1,2, 3,... при нечетных значениях jV 3. При четных yV 2 это выражение принимает вид

ф(о)Т)==ЫТ/2, =1.3, 5,...

Фильтры с линейной ФЧХ можно осуществить также при антисимметричной импульсной характеристике (рис. 15Л7, б).

Трансверсальные фильтры с линейной ФЧХ применяются в дифференцирующих устройствах, а также при исследовании различных систем с нелинейными ФЧХ. Большое число элементов памяти и весовых коэффициентов, достигающее сотен, не является препятствием при использовании микроэлектронной аппаратуры.

15.12. СИНТЕЗ ЦИФРОВЫХ ФИЛЬТРОВ ПО АНАЛОГОВОМУ ПРОТОТИПУ

Пусть задан аналоговый фильтр с передаточной функцией К а (г«) и импульсной характеристикой ga (t) и требуется построить эквивалентный ему (в определенном смысле) цифровой фильтр.

Рассмотрим физически наглядный, хотя и не во всех задачах эффективный, способ, основанный на дискретизации дифференциального уравнения.



I-1-1 » о Рис. 15.18. Цепь, описываемая диффереициаль-

"Tft) Ф «Ьь.хСтУ ™ уравнением (15.63)

описывающего чсходную аналоговую цепь. Подобный прием был использован в §8.18.

Для сокращения выкладок обратимся к простейшему четырехполюснику, представленному на рис. 15.18. Передаточная функция и импульсная характеристика этого четырехполюсника

Ка(р) = 1/(1+ед, git)=.-Le-t\ (15.63)

Выпишем основные соотношения между е (t), «вых (О и i (t):

I t) = С %fi , it) = e (t)-Ri it) = e{t)-RCiiMM , at dt

-+"-(0 = (0. (15.64)

Используя соответствие (8.113), переписываем (15.64) в форме

вых(0-"вых(-Г) 4.. L„ () Lg( (15 65)

Т RC RC

Переходя к дискретному времени t = тТ и повторяя рассуждения, приведшие к (8.114), получаем разностное уравнение

«вых(пГ)= е(тГ)+ы,ых(т7-Л. -г = «С. (15.66)

Этому уравнению соответствует цифровой рекурсивный фильтр первого порядка с передаточной функцией и импульсной характеристикой [см. (12.11) и (12.46)1

Кг (Р) = -, g (kT) = (15.67)

Весовые коэффициенты синтезируемого фильтра должны быть a„=T/(T-fT)= -1, 6i=:T/(T-fТ) = 1/(1Т/т). (15.68)

Сопоставим полученные характеристики Кг (р), g (kT) с соответствующими характеристиками исходного (аналогового) фильтра Ка (р), ga (О-Сначала сравним АЧХ {) и Кт (»):

ККсо)-.., . „ -7, КМо>)=-"---

\l + RCia,\ l-f(wT)2 I i 6e-"2

1+6?-26i cos соГ

Подставив в последнее выражение ао и Ь, из формул (15.68), получим

(С0)= -Ш1- .

1 + (1 + Г/г)2-2(l+r/T)cos соГ



[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [ 153 ] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169]

0.0011