Можно синтезировать систему, осуществляющую такое преобразование входного сигнала s (t) - (t) □ (t), при котором сигнал на выходе будет иметь вид Sgbix (О = Н (t)] О Н is (t),], где О - обозначение (общее) операций над элементами пространства выходных сигналов (сложение, умножение, свертка), причем операция Сможет не совпадать с операцией □.

Для такой системы имеет место следующее соотношение:

Я [si(О □ (01 = Я [Si(01ОЯ [S2(01. (16.4)

Имеется в виду однозначное, но не обязательно взаимно-однозначное преобразование.

Примером невзаимно-однозначного преобразования может служить операция квадрирования Н [s (01 = [s (OP.

Каждому значению s (О соответствует одно-единственное значение (t) в пространстве выходных сигналов, при обратном же преобразовании получим два возможных значения ±:S (t) .

Преобразование векторного пространства, отвечающее равенству (16.4), называется гомоморфным (в отличие от обратимого, изоморфного преобразования), а системы, осуществляющие такое преобразование, называются гомоморфными относительно операции □ на входе и операции О на выходе системы.

В частном случае □ = О == (+) выражение (16.4) переходит в соотношение

Н [Si (О + (01 = Я [si (01 + Н (01, (16.5)

соответствующее формулировке принципа суперпозиции для обычной линейной системе [см. (Ы)].

С этой точки зрения выражение (16.4) можно трактовать как обобщение принципа суперпозиции.

Пространство выходных сигналов, как и исходное, является линейным векторным пространством, хотя сам оператор преобразования Я [ 1 может быть нелинейным.

Проиллюстрируем смысл этого обобщения на нескольких примерах.

1. Система, осуществляющая преобразование Фурье сигнала s (О =

Si (О + S2 (О-

В данном случае □ = О = (+) и

f [S (01 = Г (Si (О -I- S2 (01 = [si (01 + .f [S2 (01 = Si («) -f (ft)) (16.6)

- чисто линейное преобразование.

Аналогичное соотношение можно написать и для г-преобразования, обозначаемого через Е [ 1 :

I [S (01= S (si (О (01= I [si (01 +1 2 (01 = Si (2) + 5; (г). (16.7)

Выражения (16.6), (16.7) соответствуют определению принципа суперпозиции для Линейной системы.

2. Система, осуществляющая преобразование сигнала s (О = = Si (О Sj (О в сумму X (О = Xl (О + х (О-

В данном примере □->•(•), О (+)• В соответствии с предыдущим параграфом [см. (16.2)1 оператор Н есть функция логарифмирования log:

Н \s (01 = Н [Si (О • S3 (01 = log [ Si (О • S3 (О 1 = log Si (О + log S3 (О, si>0, 5з>0. (16.8)

в данном случае гомоморфное преобразование с помощью нелинейного элемента (с логарифмической характеристикой) переводит операцию умножения в операцию сложения, что и обеспечивает применимость принципа суперпозиции к выходным сигналам.

\ 3. Система, осуществляющая преобразование Фурье сигнала, представляющего собой свертку континуальных сигналов s, (t) = Sj {t)*s.2{t) или свертку дискретных сигналов s (т) = (т) (g) Sj (m).

Известно, что свертке функций времени соответствует произведение их спектральных плотностей [см. (2.64)]; следовательно, в данном случае □ обозначает свертку * или ®, а О - умножение (• ). Таким образом, для аналогового сигнала

f [S it)] = f [Si it)*Si it)] = f [Si (01 r [Sa it)] = S, («).S., (o)) и для дискретного сигнала

(16.9)

[s(m)]=S[s,(m)®Sa(m)]=E[Si(m)].[Sa(m)] = S,{z)-Siiz), (16.10)

где I [ ], как и в п. 1, обозначает z-преобразование.

В рассматриваемом примере гомоморфное преобразование, переводящее операцию свертки в Операцию умножения, является линейным (это относится как к ,f [ [, так и к [ ]). Оба эти преобразования обратимы, так как каждому прямому преобразованию соответствует однозначное обратное преобразование. Иными словами, преобразование Фурье и г-преобразование изоморфны.

Дополнительное гомоморфное преобразование с помощью логарифмической нелинейности (как в примере 2) приводит к сумме функций вида

log Si ((О) + logSa(«) или log Si(z)+logS;(z),

что и обеспечивает применимость принципа суперпозиции.

4. Система, осуществляющая преобразование операции сложения сигналов в операцию их умножения.

В § 16.1 показано, что для такого преобразования требуется нелинейный элемент с характеристикой х (t) = ехр [s {t)] [см. (16.3)].

Приведенные выше рассуждения, а также примеры позволяют обобщить намеченную в § 16.1 систему гомоморфной обработки так, как это показано на рис. 16.2. Обобщенная, так называемая каноническая система гомоморфной обработки состоит из трех каскадов.

Первая система Dq, в общем случае нелинейная, обладающая свойством

Do [si it)ns2 it)] = Do [si it)] + Do [зг it)] = xt) + x it),

(16.11)

подчиняется обобщенному принципу суперпозиции со входной операцией □ и выходной операцией (+) (см. обозначения на рис. 16.2). Система Dq называется характеристической системой гомоморфной обработки.

Система L, являющаяся обычной линейной цепью, удовлетворяет условию L [xi it) -f Xi it)] = L [xj (01 + LlXi (01 = У1 it) -f У2 it) и выполняет

Li

~(+) (+) (+) (.+)

x(f)

51 I

1 "-------

Рис. 16.2. Каноническая система гомоморфной обработки

основную функцию по раздельной обработке (фильтрации) сигналов Xi (t) и X 2 (t).

Наконец, система Dq, преобразующая операцию сложения в выходную операцию Q, удовлетворяет условию

(О + г/2(01 = 5 [г/1 тООБ [у(01= «1вых(OOSax(О- (16.12)

Преобразование D- является обратным по отношению к преобразованию D. Если D - система нелинейная, то и D- - нелинейная система.

В последующих параграфах поясняется выбор характеристических систем Dq и D для двух классов сигналов - произведения и свертки.

16.3. ГОМОМОРФНАЯ ОБРАБОТКА МУЛЬТИПЛИКАТИВНОГО СИГНАЛА

Структурная схема обработки мультипликативного сигнала представлена на рис. 16.1 и описана в §16.1. Наложенные при анализе этой схемы ограничения - действительные и ненулевые сигналы Sj {t) и Sj {t), а также разнесенность или несущественное перекрытие их спектров не препятствуют применению гомоморфной обработки в ряде важных для практики задач. К таким задачам относится, в частности, обработка сигналов телевизионного изображения. Дело в том, что, как правило, яркость фона на экране изменяется медленно, а контрастность изображения определяется высокочастотными изменениями сигнала, так что результирующий эффект можно считать пропорциональным произведению двух сигналов - низкочастотного Si (t) и высокочастотного (t). По своей природе эти сигналы являются действительными и положительными функциями времени.

Примерный вид сигналов (t), (t) и s (t) представлен на рис. 16.3, а. Запишем их в форме

si (t) = An -+ Asi (t) > 0, S2 (t) = Ao2 + As2 (0 > 0,

где Л 01 и A 02 - постоянные составляющие соответственно функции Si (t) и S2 (t).

Тогда

S (t) = si {t)-S2 (t) = Л 0102 + 02Asi (t) + Aoi As2 (t) + Asi ф-Аз (t).

В связи с тем, что сигнал Si (t) изменяется в широком динамическом диапазоне, соответственно изменяется и сигнал s (t). Это предъявляет жесткие требования к линейности амплитудной характеристики телевизионного тракта. Выгодно ослабить влияние Sj (t) и подчеркнуть сигнал з (t), от которого зависит контрастность изображения. Для выявления возможности такой обработки рассмотрим спектры сигналов.

Спектры исходных сигналов Sj (t) и Sj (t) показаны на рис. 16.3, бив. Дельта-функции относятся к спектральным плотностям постоянных составляющих А 01 а Аа (ш) и 5д.2 (о)) обозначают спектры переменных составляющих Asi (t) и Asj (/).

Спектр результирующего сигнала 5 (t) представлен на рис. 16.4, а. Произведению Asi (t) • (/) соответствует свертка спектров (ш) и 5д2 (ш).

С помощью обы,чных линейных фильтров можно отфильтровать постоянную составляющую и низкочастотную часть спектра в полосе от нуля до Q. Однако спектр 5д1 (со) * 5д2 (со) не поддается разделению с помощью линейной фильтрации. В этих условиях применение системы, представленной на рис. 16.1, оказывается весьма э(})фективным. Хотя форма колебаний Xl (t) и Х2 (t) на выходе логарифмического преобразователя существенно от-