Главная  Цепи и сигналы 

[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [ 158 ] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169]

Yfe!)=

-y/t)y(t) -Y,(c)Y,«o) r,mr,c.> =s„,,/f)*s,,,/t)

exp[ ]

=<;/zjY2rz) e.e" = W--sb,/";

Рис. 16.8. Представление систем Ог и (на рис б в выходном сигнале должен быть знак <Э)

Обратная характеристическая система Dg представлена на рис. 16.8,6. Сигнал на выходе всего устройства

«вых и = -т 6 • () е* () г- dz = s,,, (m) s,, (m). (16.18)

В практике наибольшее распространение получила гомоморфная обработка свернутого сигнала, заканчивающаяся выделением функций (t), Х2 (t) [или Xl (т), Xi (m)], содержащих в себе всю информацию о входных сигналах Sj (t) и {t) (или (m), (m)]. При этом необходимость в громоздких преобразованиях или Dg отпадает, а выходные сигналы определяются с помощью соотношений (16.15) или (16.17). <

Главная особенность указанных соотношений - замена спектральной

плотности S (т) логарифмом S (со), а z -преобразования S (г) - логарифмом S{z).

Основанный на логарифмически-спектральной преобразовании метод привел к новому направлению в теории сигналов, получившему название кепстральный анализ.

16.5. КЕПСТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ СИГНАЛОВ. КЕПСТР МОЩНОСТИ

Исторически понятие «кепстр» было определено выражением

(16.19)

где S (ш) - амплитудный спектр континуального сигнала s (t).

Поскольку (со) имеет смысл спектральной плотности энергии сигнала S (t) (см. § 2.9), то Cs (q) истолковывается как энергетический спектр функции 1п [S (сй)]2.

Но из (16.19) очевидно, что аргумент q этого «спектра» имеет размерность времени, а не частоты. Этим и объясняется распространение термина «кепстр», который образован перестановкой букв в термине «спектр». (В зарубежной литературе аргумент называют «quefrency», что по-русски выглядит как «сачтота».)

См., например: А. Michel Noll. Cepstrum Pitch Determination. - The T. of the Acoustical Soc, of America, 1967, v. 41 Ni 2.



Хотя q ийеет размерность времени, это особое, кепстральное время, поскольку Cs («/) в любой момент зависит от функции s{t), заданной при

- оо <; оо.

Определяемый выражением (16.19) кепстр принято называть кепстром мощности . Фазо-частотная характеристика спектра не учитывается (в § 16.9 будет рассмотрен «комплексный кепстр»).

Кепстры мощности получили распространение при анализе сигналов, представляющих собой свертку двух функций времени, таких, что после преобразования S {t) по алгоритму (16.19) образуются неперекрывающиеся на оси q импульсы. В подобной ситуации фазовый спектр составных функций, образующих свертку сигналов Sj [t) и (t), может не приниматься во внимание.

Следует отметить, что выражение (16.19) имеет смысл не для любого сигнала S (t). Действительно, для сигнала с конечной энергией выполняется ус-

ловие J (ш) dco < оо, из которого следует, что при со-»- оо (со) -»-0. Но тогда при со-i" оо обращается в бесконечность !п5(со) и интеграл

J In (со) dco расходится.

- 00

Это противоречие в некоторых практических задачах обходят заменой пределов интегрирования ф оо граничными частотами ± со, в пределах которых заключена основная доля энергии сигнала и значение функции in 5 (со) ограничено.

Проиллюстрируем применение кепстра мощности на следующем примере. Пусть задан сигнал s (t) на выходе линейного тракта и требуется получить информацию об исходном сигнале (t), действующем на его входе, а также об импульсной характеристике g (t) самого тракта. Связь между тремя перечисленными функциями времени определяется сверткой

s(0-si(0*g(0-

Подобная задача возникает при анализе сейсмических процессов, при использовании радиолокационных методов определения характеристик среды распространения, при анализе сигналов речи и т. д.

В частности, при разработке электронных синтезаторов речи под (t) подразумевается сигнал, о котором известно лишь, что его спектральная плотность Si (со) заключена в некоторой полосе со cOjax, а форма АЧХ характеризуется периодической изрезанностью, однако период пульсации 1/Г (на оси частот), а также амплитуда пульсации подлежат определению. Об импульсной характеристике речевого тракта g (t) только известно, что ее продолжительность мала по сравнению с Г, так что передаточная функция тракта К (со) изменяется плавно по сравнению с пульсацией Si (со.)

Результаты обработки сигнала s (t) - (t) * g (t) no схеме на рис. 16.9 показаны на рис. 16.10.


loglSMI"

Рис. 16.9. Определение кепстра мощности континуального сигнала по алгоритму (16.19)

Применительно к сигналам конечной длительности более уместен термин «кепстр энергии». Во избежание путаницы здесь сохранена формулировка, получившая распространение в литературе.




После фурье-преобразова-ния, определения квадрата модуля спектра, а также логарифмирования получаются функции 1п Sf (со) и 1п (со), примерный вид которых представлен на рис. 16.10, а.

Функции !п Sf (со), изменяющейся с периодом 1/Т, соответствует кепстр (q) в виде пика на сачтоте Т, медленному же изменению функции 1п (со) соответствует кепстр Cg (q) в виде импульса, расположенного вблизи точки q = О (область малого кепстрального времени).

Таким образом можно выявить основную частоту 1/Т, а также получить некоторую инс}юрмацию о с}юрме АЧХ речевого тракта.

В отличие от рассмотренной выше упрощенной модели со строго периодической пульсацией спектра Si (со) и с постоянной (во времени) передаточной функцией К (tt») при обработке реальных сигналов речи приходится иметь дело с «квазипериодическим» процессом, частота которого изменяется во времени. То же относится к функции К (со). Путем усреднения спектров по большому числу отрезков реализаций, в пределах которых функции S (со) и К (со) практически неизменны, удается выявить средние частоты и параметры тракта, необходимые для синтеза звуков речи.

Составим теперь выражение для кепстра мощности цифрового сигнала.

Основываясь на выражении (16.17), представим кепстр мощности дискретного сигнала в форме

-1-(fin S (2)1=2"-dz (16.20)

О Г Сачтота,!?

Рис. 16.10. Логарифмы функций S\ (со) К}(т) (а) и соответствующие им кепстры (б)

или в эквивалентной с}юрме [см. (12.28)]

СЛЩ=\ j lnl?(e«)14os(comT)d(coT). (16.20)

Вычисление (т), как правило, производится с помощью БПФ. Для осуществления преобразований, эквивалентных алгоритму (16.20), поступим следующим образом. Подвергнем входной сигнал s (/) дискретному преобразованию Фурье по с}юрмуле (12.14):

m = 0

, 2л

- rt = 0, 1, N-\,

(16.21)

в результате чего получим спектральных коэффициентов входной последовательности {s (m)}.

В § 12.6 было показано, что S (п) совпадает со значением S (е) в точ-

, 2л

ке 2 = е " , лежащей на окружности единичного радиуса:

I 2л N

S(rt)=sle /==ReS(rt) + iImS(rt).

См. сноску на с. 469.



[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [ 158 ] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169]

0.0012