Главная  Цепи и сигналы 

[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [ 163 ] [164] [165] [166] [167] [168] [169]

в пределах одного интервала Лш набег фазы значительно меньше л. На частотах со = пАсо, где скачо 9, (со) превьш1ает 4-л, для восстановления истинного аргумента требуется добавить - 2л; соответственно при скачке

- л требуется добавить + 2л. На рис. 16.17, в изображена корректируюш,ая последовательность, добавляемая к последовательности Qsrji (")•

В заключение рассмотрим важный для практики случай входной последовательности {s {т.)}, m О, когда z-преобразование (одностороннее) определяется выражением

S(z)= V ${т)г-", (16.52)

причем полюсы и нули функции S (z) расположены внутри единичной окружности, т. е. радиус сходимости ряда (16.52) < 1.

Подобные последовательности называются минимально-фазо-

в ы м и, по аналогии с системами, передаточная функция которых К (z) имеет особые точки (полюсы и нули) внутри круга z = 1 (см. § 15.9).

Таким образом, модуль и аргумент z-преобразования минимально-фазовой последовательности однозначно связаны, а комплексный логарифм

In S(e) = In 1 S(e) \ + iG (со)

обладает тем свойством, что его действительная и мнимая части образуют пару преобразований Гильберта. В этом случае комплексный кепстр можно вычислять по формуле

CJm)==y{m) = 2x~ Г in 1 S~(e") cos (mwT) d (соГ),

которая отличается от (16.20) только степенью S (eOI в аргументе логарифма.

Из последнего выражения видно, что комплексный кепстр минимально-фазового сигнала s (т.) равен кепстру мощности (т) того же сигнала, и для его получения можно воспользоваться схемой, представленной на рис. 16.11.

Простейшим примером минимально-фазового сигнала является s (/) =

= е-«, fO, с г-преобразованием S {е) - ~ име-

ющим нуль Zo = О и полюс Zp = е~« <: 1 [см. (12.22)].

Сигнал S (/) = Ate.-, рассмотренный в § 16.7, является другим примером минимально-фазового сигнала.

16.11. НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА КЕПСТРАЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

По аналогии с теоремами о спектрах, изложенными в § 2.8, рассмотрим связь между некоторыми преобразованиями исходного сигнала s (t) и преобразованиями кепстра.

Установление этих связей представляет интерес в основном применительно к комплексным кепстрам.

1. СДВИГ СИГНАЛА ВО ВРЕМЕННОЙ ОБЛАСТИ

Пусть исходному сигналу (/) со спектральной плотностью Si (со) соответствует кепстр Csi ("?) При задержке сигнала на tg получим функцию времени (t) = Sj (/ -

- to) со спектральной плотностью (ы) = e~"°Si (w), логарифм которой

In Sj (ы) = - ibito + In Si (to).



Второму слагаемому соответствует кепстр Cj (q) исходного сигнала Si (/), а первое слагаемое в соответствии с (16.39) приводит к следующему кепстру:

с»

Cto{q) = -to- J iae<ld(o. (16.53)

- оо

Учитывая, что функции б (q) соответствует спектральная плотность, равная единице, множитель 1(0 можно рассматривать как спектральную плотность функции

-6(9). Тогда (16.53) определяет функцию б (о), и, следовательно, dq dq

Cjo (?) = -о -J- б (9). (16.54)

Таким образом, кепстр сигнала (/) = (t - tg)

Cs2 (<?)= -0 -J- б {q)-{-C,, (q). (16.55)

Из сопоставления (16.55) и (16.54) вытекает, что кепстр смещенной дельта-функции

{I - tn) равен - б (q). Оперирование производной дельта-функции затрудни-

тельно, однако при обработке сигнала можно исключить участок кепстрального времени в окрестности точки q = 0.

Рассмотрим соотношение между cs2 (п) и С (т) для цифрового сигнала (т) = = Si (т - /По).

Основываясь на методе г-преобразования, получаем

%{е)= е-"»" S;(e"), Insje) =-ш„ ыТ + \п% {е<).

Применяя к этому выражению обратное г-преобразование по формуле (12.28), получаем

Cs,(n)=-imo J ыТе"" d (ыТ) + Csi (т),

где (m) - кепстр сигнала (т), а

Сго {т)=-Шо J хе"" dx.

При т-0 интеграл обращается в нуль, так что С,„ (0)=0. При тф О

я я я

I хе"" djc= I X cos (mx)dx + i j" [x sin (mx) dx = -я -я -я

sin (mn) -тя cos (тя) „ я

= 2i ----;;--- = - 2« - cos (тя

m" m

-2i - cos (тя) m

c,„(m)= 2„

Таким образом, при m ф О

Cs2 (m)=- (-O--l-Cs, (m). m

Как видим, в случае цифрового сигнала кепстр cs2 (т) задержанного сигнала отличается от (т) лишь знакопеременным сигналом.. (-1)""", убывающим с воз-

растанием т; в точке m = О Cjo (0)= О и дельта-функция не возникает.



2. ИЗМЕНЕНИЕ МАСШТАБА ВРЕМЕНИ

Пусть Sa (t) = Si (nt), re > 0. В соответствии с § 2.8, п. 2

Sa (ы) = - Si (w/re) и In (ы) - -\п {п)+\п Sj (ы/ге). re

Кепстр сигнала (t)

Cs2 (?)=-ln (re) -L j e"dm +

- OO

In Si (ш/ге) e"" d(o= -In (re) б {q) + nCsi (nq).

Изменение масштаба времени t приводит к такому же изменению масштаба кепстрального времени q; кроме того, возникает функция б (q).

При дискретизованном сигнале изменение масштаба времени означает изменение шага Т при неизменном числе отсчетов N (что необходимо для сохранения формы сигнала).

Положим Га = rei, re > О, и запишем выражение (12.20) для г-преобразования сигнала s, (t)

N-l N-l

S;(e"0= 2 «2 (m) e-"»"i= 2 % (n) e-»". in = 0 m=0

При сжатии или растяжении исходного сигнала отсчеты функции {i) сохраняют свое значение (при = const). Таким образом,

S;(e-"-.) Jy si (m) е- =Si (e") m = 0

И кепстр

(m) =

In S(e"*0 cos (отгеыГ,) d (rewTi).

Переход от шага дискретизации к = reTi не изменяет структуры кепстра. Изменяется лишь диапазон частот ш, соответствующий одному обходу окружности единичного радиуса на г-плоскости (от -л/Т, л/Т до - л/пТ,, л/пТ,). Соответственно изменяется и масштаб кепстрального времени; интервалы между отсчетами кепстра на оси q будут = пТ.

3. СМЕЩЕНИЕ СПЕКТРА СИГНАЛА Применим преобразование Фурье к произведению "а (0=40 е»,

где S (О - «медленная» (модулирующая) функция со спектральной плотностью S (ы); е"*° - несущее колебание.

Повторяя рассуждения, приведенные в §2.7, п. 3, придем к спектру

с»

Sa (ш)= J S (О е"»е-"d/=S (й)-(0о).

Тогдг

In Sa (o)) = ln S {(О-СОо) и кепстр сигнала а (i)

Ca{q)=~ J In S (ы-(Оо) е""d(0.



[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [ 163 ] [164] [165] [166] [167] [168] [169]

0.0011