Главная  Цепи и сигналы 

[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [ 16 ] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169]


<N S


I- +?

я я о. о. с е



«


"I

«6

3 1

S ° 3


s /




Во втором примере (рис. 2.24, б) производная функции -ае-« при />0,

s (0 =

при t< О,

не содержит дельта-функции, но терпит в точке / = О разрыв. После повторного дифференцирования получим функцию, отличающуюся от исходного сигнала s (/) только масштабом по оси ординат и наличием функции -2аб (t).

Следовательно, спектральная плотность второй производной S,»(co) = aS,(co)-2a,

причем при to = О эта функция равна -а.

Разделим теперь полученное выражение на (/со) и учте.м, что Sj» (ш)/ (ш)2 есть спектральная плотность двухкратного интеграла от функции S" (t), т. е. (ш)/(ш)2 = S, (ш).

Таким образом, можно составить следующее соотношение:

S, (со) = [а S, (ш) - 2a]/(iш)

откуда вытекает равенство

S,(co) = 2a/(a + co2). При со » а Ss (со) = 2а/ш*.

Отсюда видно, что разрыв первой производной приводит к убыванию спектра по закону Этот результат можно обобщить следующим обра-


\ +-

-Го с

? Го ZTt, ЗТо f

Га гга ЗГд

1 II

-ЗТо -2Га-

-Га 0

S"

-Го 0

Го гго t

-Za -a 0\ a Za/ i

Рис. 2.24. Примеры сигна.чов:

a) с разрывом; б) с изломом; в) без разрыва и излома



зом: вне основной полосы частотный спектр убывает по закону 1 (о"+, где п-порядок производной, при котором возникает первый разрыв.

С этой точки зрения сигнал, показанный на рис. 2.24, в, производные которого непрерывны при всех значениях п, вплоть до л = оо, должен обладать спектром, скорость убывания которого является максимально возможной. Этот вывод согласуется с тем, что произведение длительность х полоса минимальна для колоколообразного импульса (см, п. 1 данного параграфа).

Основываясь на приведенных рассуждениях нетрудно также объяснить происхождение пульсации спектра вне основной полосы частот. Периодическая пульсация с неубывающими максимумами может возникать только в результате интерференции спектров двух дельта-функций, разнесенных во времени. Спектр прямоугольного импульса, пульсирующий с максимумами, убывающими по закону Г/со, является наглядным примером интерференции спектров двух единичных скачков.

2,13. СПЕКТРЫ НЕКОТОРЫХ НЕИНТЕГРИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ

Одним из условий применимости преобразования Фурье к функции S (t) является ее абсолютная интегрируемость:

( s(OW/< 00. (2.95)

- ос

Это условие существенно ограничивает класс сигналов, для которых существует спектр Фурье, выражаемый обычными функциями. Например, такие важные для теории сигналов и цепей функции, как гармоническое колебание, заданное при -оо <: оо или включаемое в некоторый момент времени, единичный скачок, и некоторые другие функции не отвечают условию (2.95).

Рассмотренные в предыдущем параграфе свойства дельта-функции позволяют устранить это препятствие.

Обратимся, например, к гармоническому сигналу s (t) Ад cos (со,, + -+ Оо). Не обращая внимания на то, что такой сигнал не является абсолютно интегрируемым, выражение для спектральной плотности запишел в фор.ме (2.48):

л УС

S (U)) = S (/) е dt = А„ 1 cos ((о„ С -Ь В) е - cli =

А у А p-f*" ,

I еI(<"-(.)„)( I 2±1 I е "<""»>d/.

2 ,1 2 .

На основании, формулы (2.94) получаем

S ((,)) = [2яе«*« б (о) -(Од) 4- 2яе -»»б (о) ; о,}] =

= Л„ л (е"« б (со-(о„) he б (со + w„). (2.96)

Эта функция равна нулю для всех частот, кроме го = соо и (о = -со, при которых S (со) обращается в бесконечность. Как и следовало ожидать, гармоническому колебанию с конечной амплитудой соответствует бесконечно большая спектральная плотность при дискретных частотах со„ и -со,,.



[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [ 16 ] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169]

0.0011