Главная  Цепи и сигналы 

[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [ 17 ] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169]



Рис. 2.25. Импульсный н монохроматический сигналы (а) и их спектральные плотности (б)

В частности, приравнивая нулю, получаем спектральную плотность сигнала, представляющего собой постоянное напряжение (ток) А„:

S (со) = Ло-2лб (со).

(2.97)

Распространив соотношение (2.96) на все гармоники любого периодического сигнала

5(/)=Ло V Л„со5(т.),ГгВ„),

можно ввести понятие спектральной плотности периодического сигнала в виде суммы дельта-функций

8((.)) = Л„-2лб(ш) -,-Л,л1ей б(ш -Wi) i е- б (о.-f со,)1 Л.,ле=б(ш-2{o,)-i-e-«6((o i-2o)i)j 4-...

... + Лп л [е"*п б ((.J - пш,) г е ""б (со - то,)

(2.98)

Такой подход оказывается полезным при рассмотрении смеси импульсного и гармонического сигналов.

Пусть, например, отыскивается спектр су.ммы двух сигналов: импульсного «1 (/) и гармонического Sj (/) = Л cos (рис. 2.25, а). Применяя выражение (2.48) к s, (t), находим обычную спектральную плотность S (со), определяющую сплошной спектр (на рис. 2.25, б заштрихован). Применение же (2,48) к {t) дает спектр, определяемый выражением (2.96). На рис. 2.25, б этот спектр изображается двумя спектральными линиями, уходящими в бесконечность.

Отыщем теперь спектральную плотность единичного скачка. Эту простейшую разрывную функцию представим в виде суммы

S (О = + 2 sign (О,

(2.99)

где sign {t) - сигнум-функция, равная единице, знак которой изменяется при переходе переменной / через нуль.

Постоянной составляющей 1/2 соответствует спектральная плотность 1см. (2.97)1 лб (ш), а спектральную плотность нечетной функции V. sign [t) нетрудно найти с помощью правила, сформулированного в предыдущем параграфе. Проди()ференцировав функцию sign {t), получим производную, которая равна нулю на всей оси времени, кроме момента t = О, где она равна б (/). Спектральная плотность б {t) равна единице, следовательно, искомая спектральная плотность сигнум-функции будет 1ш.

В результате получаем спектральную плотность единичного скачка

S (со) - яб (со) + 1/,со.

(2.100)



При рассмотрении воздействия единичного скачка на цепи, передаточная функция которых при со = О равна нулю (т. е. на цепи, не пропускающие постоянный ток), спектральную плотность можно определять по формуле

S (со) 1 ш. (2.100)

2.14. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СИГНАЛОВ

НА ПЛОСКОСТИ КОМПЛЕКСНОЙ ЧАСТОТЫ

Анализ прохождения сигналов через линейные цепи, описываемые комплексной передаточной функцией, значительно облегчается при использовании методов контурного интегрирования на плоскости комплексной частоты р = о + ico. Переход от действительной переменной со к р - = о -\- /со позволяет также полностью устранить ограничения, вытекающие из требования абсолютной интегрируемости функции s (t).

Представим функцию s (t), в общем случае существующую при -оо < <: < оо, в виде суммы двух функций:

S(O=S+(/)4-S(0,

из которых S+(t) задана при 0<<<оо, а s (О - мри - оо < < 0.

Обращаясь к паре преобразований Фурье (2.48), (2.49), совершаем переход от со к р сначала для с{)ункцни s,,. (t). Для этого домножим s+ (t) на е-", где cTj > О выберем таким образом, чтобы обеспечивалась абсолютная интегрируемость функции е""" s+ (t) в пределах О <; оо.

Тогда выражение (2.49) принимает вид

е-".S+(/)=-!- Г S+(со) е"cico, (2.49)

2л J

причем S. (со) является спектральной плотностью функции е~° (t). Теперь подставим в (2.49) ко = р - ст, и со (р - ai)ii: а, -f-ioc

e-<.s+(/) =- Г S+е 2л( .)

о, -loo

откуда

о,~г loo а, t loo

s+(0 = - Г S+fie"dp--i- f L,(p)P<dp. (2.101 2я1 \ I 1 ,2ni J

a, - Ioo . o, - to

Новая функция Ls+ (p), являющаяся не чем иным, как спектральной плотностью сигнала еs+(О 1см. комментарий к (2.49)], определяется выражением

х>

(P) = S+ i =S+(ro)=.r е -<.s+(О е --d/,

\ 1 / J

откуда

L,+ (p)=- \ s+(t)e Pdt. (2.102)

Полученное соогношение называется преобразованием (односторонним) Лапласа функции (t).





4 1 °

Рис. 2.26. Путь интегрирования по прямой сТ-(ОО, сг,-)-(оо на р-плоско-сти (а); образование замкнутого контура добавлением дуги ABC при R-*oo (б)

Рис. 2.27. Замыкание контура интегрирования для представления функции s.(t):

а) при />0; й) при /<П.

Соотношение (2.101) по аналогии с выражением (2.49) часто называют обратным преобразованием Лапласа.

Сравнение выражений (2.101) и (2.49) показывает, что переход от со к р означает изменение пути интегрирования. В выражении (2.49) интегрирование ведется по действительной оси м, а в выражении (2.101) - по прямой, проходящей параллельно мнимой оси ш на расстоянии вправо от этой оси (рис. 2.26, а). Значение постоянной а, определяется характером подынтегральной функции в (2.101): путь интегрирования должен проходить правее полюсов этой функции.

Добавлением к прямой - гоо, Oj + гоо дуги бесконечно большого радиуса можно образовать замкнутый контур интегрирования (рис. 2.26, б). Для того чтобы добавление этой дуги не изменяло значения интеграла, нужно руководствоваться следующим правило.м: при положительных значениях t контур должен быть расположен в левой полуплоскости переменного р, а при отрицательных t - в правой.

Тогда в первом случае при t > О [при проведении дуги в левой полуплоскости (рис. 2.27, а)] контур интегрирования охватывает все полюсы подынтегральной функции (лежащие левее прямой сг, - гоо, cTj 4 гоо) и в соответствии с теорией вычетов интеграл (2.101) определяется как

о, 4 <<х

s+(0 =

L,{p)ePdp

L, (/?)e"d/? = V res, (2.103)

ABCA

где 2 res - сумма вычетов в полюсах подынтегральной функции.

При п]эоведении же дуги в правой полуплоскости, т. е. при t<.0 (рис. 2.27, б), полюсы функции Ls+ (р) е оказываются вне контура интегрирования и в соответствии с теоремой Коши интеграл по замкнутому контуру равен нулю.

Таким образом, в зависимости от способа замыкания контура интегрирования получим:

ири >0 (контур по рис. 2.27, а) (t) определяется выражением (2.103);

при /<0 (контур по рис. 2.27,6)

Oi loo

s+(/) = --i- f UJp)eP4p- (f L,(p)eidp=0. 2л1 J 2nt ,f

(2.104)

1BC .1



[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [ 17 ] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169]

0.0012