Рис. 2.31. Представление сигнала рядом Котельникова

Представление заданной функции s (t) рядом (2.П4) иллюстрируется рис. 2.31.

Функция вида

sin Шщ (t - nAi)

(2.115)

Шщ {t - tiAt)

уже встречавшаяся ранее (см. §2.10, рис. 2.19, а), обладает следующими свойствами:

а) в точке t = nAt ср„ (nAt) = 1, а в точках t = kAt, где k - любое целое положительное или отрицательное число, отличное от п, (рп (kAt) = 0;

б) спектральная плотность функции фо (t) равномерна в полосе частот [а)< сйг„ и равна 1/2/ = л/со (см. (2.82) и рис. 2.19, б].

Так как функция (t) отличается от фо (t) только сдвигом на оси времени на nAt, то спектральная плотность функции фп, (t)

i- CnAtisi

-rAte-

-itiM

при -Шт<"<Ш„г. при (0<-0) И Сй>а)

(2,116)

Модуль этой функции изображен на рис. 2.32, б.

То, что ряд (2.114) точно определяет заданный сигнал s (t) в точках отсчета, не требует дополнительных доказательств, поскольку коэффициентами ряда являются сами выборки из функции, т. е. величины s {nAt). Можно доказать, что ряд (2.114) определяет функцию s {t) в любой момент t, а не только в точках отсчета t = nAt. Воспользуемся для этого общи.ми правилами разложения функции по ортогональной системе, изложенными в § 2.2. В данном случае разложение производится по функциям вида (2.115), для которых интервал ортогональности равен бесконечности, а норма ф„ в соответствии с (2.5)

sin Шт [t-nM) (t-nAif

dt =

С sin J

dx = -

= At.

He предрешая заранее значения коэффициентов ряда (2.114), применяем для их определения общую формулу (2.9), справедливую для обобщенно-

го ряда Фурье

(2.117)

При этом исходим из условия, что S (t) - квадратично-интегрируемая функция (энергия сигнала конечна).

Для вычисления интеграла в выражении (2.117) воспользуемся формулой (2.63), согласно которой

j s{t)cp{t}dt=-- j S(o))0;((o)do) =

2/„, 2л

J S(o))e

(2.117)

Пределы интегрирования здесь приведены в соответствии с заданной граничной частотой со = 2n/„i в спектре сигнала, а также в спектре функции ф„ (/).

Интеграл в правой части (2.117) с коэффициентом 1/2я есть не что иное, как значение s (t) в момент t = nAt. Таким образом,

i s{t)<p„(t)dt=.Ats(nAt).

Подставляя этот результат в (2.117), получаем окончательное выражение

с„ =- S (nAt),

из которого следует, что коэффициентами ряда (2.114) являются выборки функции S (О в точках t = nAt.

Поскольку ограничение спектра конечной наивысшей частотой обеспечивает непрерывность функции s (t), ряд (2.114) сходится к функции s (t) при любом значении t.

Соотношение между спектром S (2л/) сигнала s (t) и спектром Ф,, (2л/) базисной функции ф„ (/) при Д/= l/2/„i иллюстрируется рис. 2.32, а и б.

Если взять интервал между выборками At меньшим At = l/2/ni, то ширина 2/т спектра Ф; (ю) функции ф,; (?) будет больше, чем у спектра S (со) (рис. 2.32, в). Это повышает точность представления сигнала s (t), так как исключается возможность неучета «хвое-

\-fm

..1

ТОВ» спектра S (m) вне граничных частот /„,; кроме того, ослабляются требования к АЧХ фильтра, восстанавливающего непрерывный сигнал.

При увеличении же At" по сравнению с At (рис. 2.32, г) спектр Ф;, (со) функции ф (t) становится уже, чем спектр сигнала s (t), и при вычислении

fm (Zrrf)

At >ui

fi. фп(2пГ)

-fm О -F

Рис. 2.32. Связь между спектром сигнала s(V) и спектром базисной функции (Гп(0

интеграла в выражении (2.117) пределы интегрирования должны быть-2л/,"„, 2л/;;, вместо -2л/,„, 2л/т. Коэффициенты с„ при этом являются уже выборками не заданного сигнала s (t), а некоторой другой функции Si (/), спектр которой ограничен наивысшей частотой f"m<fm-

Рассмотрим теперь случай, когда длительность сигнала s (t) конечна и равна Гр, а полоса частот по-прежнему равна fm- Эти условия, строго говоря, несовместимы, так как функция конечной длительности обладает теоретически бесконечно широким спектром. Однако практически всегда можно определить наивысшую частоту спектра так, чтобы «хвосты» функции времени, обусловленные отсеканием частот, превышающих /„, содержали пренебрежимо малую долю энергии по сравнению с энергией исходного сигнала S (t). При таком допущении для сигнала длительностью Г с полосой частот /,„ общее число независимых параметров [т. е. значений s [nAt)], которое необходимо для полного задания сигнала, очевидно, будет

д, = Ге/Л/=2/„Т,

При этом выражение (2.114) принимает следующий вид (при отсчете времени от первой выборки):

S[t] V% (пМ) ""пС-пЛ/) 2.118)

Число N иногда называют числом степеней свободы сигнала s (t), так как даже при произвольном выборе значений s {nS.t) сумма вида (2.118) определяет функцию, удовлетворяющую условиям заданного спектра и заданной длительности сигнала. Число N иногда называют также базой сигнала.

Энергию и среднюю мощность сигнала нетрудно выразить через заданную последовательность временных выборок. Используя формулы (2.16) и (2.123), а также равенство ЦфпЦ - At, получаем

э= V [5(пЛ0Р!ф„Р-л/ V [s(nM)f,

п -- О п О

я л/ ,

Из последнего выражения видно, что средняя за время мощность непрерывного сигнала равна среднему квадрату выборок, число которых равно 2/™Г..

2.16. ТЕОРЕМА ОТСЧЕТОВ В ЧАСТОТНОЙ ОБЛАСТИ

Иногда сигнал необходимо представить с помощью частотных выборок спектральной функции S (со), а не временных выборок функции S (t). Для функции S (со) можно составить ряд, аналогичный выражению

(/-лЛ/)] (см. (2.115)]

- (со - «Лео)

Тс 2я\

-- со - п-\ , которая получена из (2.115) заменой / на со, полу-

. /о/

ширины спектра io„i на полудлительность сигнала Гр/2 и A/ = l/2/„i на /\со2л/7,.

(2.114). Для этого базисная функция cp„(/) = sinc [со,, должна быть заменена функцией ф» (со) - sine

= sinc