Главная  Цепи и сигналы 

[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [ 20 ] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169]

Таким образом,

S (со) = 2 ""

7".

sin --- (о)-лДш)

((О -лДо))

. То

1 2я \

sin --

1 Тс 1

Тс )

( 2я \

(0 -л-

(2.119)

Расстановка частотных выборок иллюстрируется рис. 2.33.

Если ранее временной интервал между двумя соседними выборками At не должен был превышать 2я/2сОт, то теперь частотный интервал Асо не должен превышать 2л1Т. При ширине спектра 2co„j, охватываюш,ей область частот -со„, < со < со, число выборок равно 2сОт/Асо = 2fjnT, как и при представлении сигнала рядом (2.118).

В общем случае выборки S {п2п1Т) являются комплексными числами и в каждой отсчетной точке на оси частот должны быть заданы два параметра - действительная и мнимая части S (л2я/Гд) (или модуль и аргумент). Таким образом, общее число параметров получается вдвое большим, чем при временном представлении сигнала, когда выборки s («/2/)- действительные числа. Избыточность представления сигнала в частотной области легко устраняется, если учесть, что S (п2я/Гс) и S (~п2л/Т) являются комплексно-сопряженными функциями, так что задание одной из них однозначно определяет другую. Таким образом, спектр сигнала полностью характеризуется совокупностью комплексных выборок, взятых только в области положительных частот, и числом независимых параметров или степеней свободы сигнала N - 2[„,Т, как и при представлении сигнала во временной области.

К приведенному выше определению максимального допустимого интервала Асо = 2я/Гр, основанному на замене /ч=ь со в (2.114), можно прийти и с помощью строгих рассуждений. Полагая, как и в § 2.15, заданными длительность и спектр S (со) сигнала s (t), предегавляем этот сигнал в виде ряда Фурье (вместо интеграла Фурье)

5(0= У

с„ е

2л Т..

где Тд. > Т. - произвольный отрезок оси t, включающий в себя отрезок Т.

в соответствии с (2.22) и (2.56) коэ()фициенты

С,. =

s(() е

7.х-

10 =П

Т,- J

Как видим, коэс})фициенты с„, будучи умноженными на Т, есть не что иное, как значения спектральной плотности S (со) на дис-


Рис. 2.33. Дискретизация спектра по Котельникову

сигнала



кретных частотах «= пДм, т. е. отсчеты S (лАсо), фигурирующие в

выражении (2.1)9). Очевидно, что макси.мально допустимый интервал между отсчетами на оси частот соответствует условию Т = Т, т. е. Дсо < 2л/Т,.

2.17. ДИСКРЕТИЗОВАННЫЕ СИГНАЛЫ

В предыдущих параграфах под дискретизацией сигнала s (t) подразумевалось аналитическое его представление с помощью совокупности отсчетов в дискретные моменты времени пА.

В современной радиоэлектронике широко распространены системы, в которых осуществляется дискретизация сигнала, например, при использовании импульсных методов передачи сообщения в радиосвязи. В системах <; цифровой обработкой исходный континуальный сигнал преобразуется в дискретный сигнал (см. рис. 1.2, б).

Выбор шага (темпа) Т дискретизации производится на основании теоремы отсчетов (см. § 2.15).

Процедуру дискретизации (взятие выборок), осуществляемую с помощью электронного ключа, удобно рассматривать как умножение функции s (t) на вспомогательную периодическую последовательность ут (t) достаточно коротких тактовых и.мпульсов. В качестве таких импульсов обычно рассматривают прямоугольные импульсы с длительностью Тц, малой по сравнению с Т. Таким образом, дискретизованный с шагом Т сигнал можно определить выражением

srit) s(t)yT(t). (2.120)

Функции S (t), Ут (О и sr (t) показаны на рис. 2.34, а.

Для выявления требования к «малости» величины х/Т рассмотри.м сначала структуру спектра дискретизованного сигнала Sr (/). Спектральную плотность S (со) исходного континуального сигнала s (t) будем считать заданной.

Запишем периодическую функцию ут (t) в виде ряда Фурье по формуле (2.39), в которой под т„ будем подразумевать величину т„, а под со,, как и в (2.39), - частоту повторения coj = 2л/Г:

yr{t)=U,


Sj(t)

оооооооо оооосооооооооооо

-то Т 2Т ЗТ

t -т о т гт

Рис. 2.34. Дискретизация сигнала как умножение на последовательность тактовых импульсов конечной длительности (а) или на последовательность лельта-функпий (б)



Учитывая, что moj т„/2 = «лТо/7, а также имея в виду равенство sin- sine («лт„/), получаем

2 2 sinc(-

cos rtlOj

n= 1

Тогда выражение (2.120) принимает вид

st (t)Uo

S (t) I 2s (/) у sine

/ ПЛХи \

COS пщ t

n.= 1

Первому слагаемому в правой части соответствует спектральная плотность S (со) исходного континуального сигнала, а каждому из произведений s {t) cos nbit - спектральная плотность [S (q) - ncoj) -f S (со + rtWi)] (CM. теорему в п. 3 § 2.8 о смещении спектра).

Следовательно, искомая спектральная плотность

St (О)) =оу

S(co)

v sine

я= 1

ПЯТо

S (о) -ncoj) -\-

sinc

ПЯТо \

S (w -1 ncoi)

n= 1

Поскольку sine (0) = I, последнее выражение можно записать в следующей окончательной форме:

Sr (О)) и,

sine

ПЛТи

S (со пщ).

(2.121)

Графики функций S (о)) и Sr (ю) представлены на рис. 2.35.

Итак, спектр Sr (со) дискретизованного сигнала представляет собой последовательность спектров S (со) исходного сигнала s (t), сдвинутых один относительно другого на со, = 2я/Т и убывающих по закону sin (-

Т J / Т

Если шаг выборок в соответствии с теоремой отсчетов выбран из условия Т <z 12/„, ясода, отдельные спектры не перекрываются, как это показано на рис. 2.35, а, и могут быть разделены с помощью фильтров.

В практике величину Т обычно берут в несколько раз меньшей чем 1 2/,,,, что необходимо для повышения точности воспроизведения сигнала и облегчения реализации фильтров.

С уменьшением отношения ХоТ лепестки спектра убывают медленнее и в пределе, при ТоТ 0, спектр приобретает строго периодическую структуру (и, естественно, уровень лепестков стремится к нулю). Если одновременно с уменьшением Xq увеличивать Ug так, чтобы площадь импульса UXo оставалась неизменной, то функции ут (t) и Sr (О примут вид, показанный на рис. 2.34, б. Приравнивая для упрощения UqXq 1, приходим к следующему определению тактовой функции:

Тогда выражение (2.120) переходит в s(0=s(0 V б(Г-АГ)= V s(&7)6(/ kT).

(2.122)

3 Зак. 1326



[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [ 20 ] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169]

0.0014