А„-г

Рис. 3.15. Векторная диаграмма (а) и спектр колебания (б) при угловой модуляции с индексом т<\

НИЯ. При AM фазы колебаний боковых частот симметричны относительно несущей частоты, а при угловой модуляции фаза колебания нижней боковой частоты сдвинута на 180° [знак минус перед последним слагаемым (3.32)]. Это положение иллюстрируется векторной диаграммой, показанной на рис. 3.15, а. Направление вектора DC при AM обозначено штриховой линией. Изменение направления этого вектора на 180° приводит к тому, что вектор модуляции DF всегда перпендикулярен к направлению вектора 0D, изображающего несущее колебание. Вектор OF, изображающий результирующее колебание, изменяется как по фазе, так и по амплитуде; однако при = Отах С 1 амплитудные изменения настолько малы, что ими можно пренебречь и модуляцию можно в первом приближении рассматривать как чисто фазовую.

Спектральная диаграмма для угловой модуляции при т <g 1 показана на рис. 3.15, б. Равенство амплитуд колебаний боковых частот сохраняется, а фаза колебания нижней частоты сдвинута на 180°. Амплитуды колебаний боковых частот равны mAf,l2, и поэтому в данном случае индекс модуляции т совпадает по значению с коэффициентом М, характеризующим глубину изменения амплитуды при AM. Заметим, что ширина спектра при т < I равна 2Q, как и при AM. Этот результат показывает, что при очень малых девиациях сОд (по сравнению с Q) ширина спектра от Шд не зависит.

При увеличении фазового отклонения, т. е. при возрастании т, уравнение (3.32) и диаграмма на рис. 3.15, а не дают правильного представления о действительной картине явлений при частотной или фазовой модуляции. Это объясняется тем, что с помощью колебаний несущей частоты и всего лишь одной пары боковых частот невозможно представить колебание, частота или фаза которого изменяется в широких пределах, а амплитуда остается строго постоянной. Для получения правильной картины необходимо учитывать боковые частоты высших порядков в соответствии с выражением (3.31).

При значениях индексов т от 0,5 до 1 приобретает некоторое значение вторая пара боковых частот, ввиду чего ширина спектра должна быть приравнена 4Q. Далее, при 1 <т<2 приходится учитывать третью и четвертую пары боковых частот и Т. д. Спектральные диаграммы для т = 1

п/Ао 0,8-

J-л.

Рис. 3,16. Спектры колебания при угловой модуляции:

а) т~и б) т = 2

lJ2 (m)

JgCm)

2/2 (m)

Рис. 3.17. Фазнровка колебаний боковых частот в различные моменты времени

И m = 2 приведены на рис. 3.16. Фазы колебаний на этих рисунках не учитываются, однако следует иметь в виду, что при нечетных п амплитуды нижних боковых частот следует брать со знаком минус. Амплитуды всех составляющих спектра представлены на этих рисунках в виде вертикальных отрезков, длины которых равны У„ (т), а расстояния от отрезка Уо (рг), соответствующего амплитуде колебания несущей частоты, равны nQ, где Q - частота модуляции, an - порядковый номер боковой частоты. Амплитуда результирующего колебания принята за 100 °о, т. е. = I; обозначенные на рисунках величины У„ определяют амплитуды колебаний соответствующих частот в долях от амплитуды результирующего колебания.

Векторные диаграммы для различных моментов Qt при m = 1, построенные по выражению (3.30), представлены на рис. 3.17, а-г. При «>2 У„ (1) < I, поэтому учтены только Уо. Л и -г-

Рассмотрим теперь большие значения т. Вопрос сводится к выяснению зависимости бесселевой функции Уп (т) от порядкового номера п при больших значениях аргумента т. Оказывается, что при т > 1 величина У„ (т) более или менее равномерна при всех целых значениях \п\, меньших, чем аргумент т. При п\, близких к т, Уп (т) образует всплеск, а при дальнейшем увеличении п\ функция У„ (т)\ быстро убывает до нуля. Общий характер этой зависимости показан на рис. 3.18 для т = 100. Из рисунка видно, что наивысший номер п боковой частоты, которую еще необходимо принимать в расчет, приблизительно равен индексу модуляции т (в данном случае п = 100).

Приравнивая это максимальное значение «тах величине т, приходим к выводу, что полная ширина спектра частотно-модулированного колебания

\J„(m)\ 0,16

0,12 0,0В

о,ои

-100

Но т = Юд/Q, следовательно, при больших индексах модуляции ширина спектра модулированного колебания близка к удвоенной девиации частоты

2 I «„ах I У « 2ю,

(3.34)

100 п

-«л

Рис. 3.18. Ширина спектра ЧМ колебания при больших значениях индекса модуляции

Эта полоса частот обозначена в нижней части рис. 3.18.

Заметим, что в соответствии с определением т [см. (3.24)[ выражение «модуляция с малым индексом» эквивалентно выражению «быстрая модуляция», а выражение «модуляция с большим индексом» эквивалентно выражению «медленная модуля-

ция». Поэтому можно сформулировать следующее положение: при быстрой угловой модуляции (когда сОд О) ширина спектра модулированного колебания близка к значению 2Q; при медленной угловой модуляции (когда (Од > Q) ширина спектра близка к значению 2сОд.

3.7. СПЕКТР РАДИОИМПУЛЬСА С ЧАСТОТНО-МОДУЛИРОВАННЫМ ЗАПОЛНЕНИЕМ

При модуляции частоты колебания по закону, отличающемуся от гармонического, нахождение спектра колебания усложняется. Выбор наиболее удобного метода анализа зависит от характера модулирующей ()ункции. Поясним один из возможных методов на примере широко распространенного сигнала - импульса с линейной частотной модуляцией (ЛЧМ импульса). Подобный сигнал изображен на рис. 3.19, а, а закон изменения частоты заполнения импульса - на рис. 5.19,6.

Мгновенную частоту заполнения оо (t) = 2я/ (t) можно определить выражением

со(0=оОо-ЬР \ t\T,j2,

(3.35)

Р2сод/Т, = 2.2я/д/Г,

(3.36)

есть скорость линейного изменения частоты внутри импульса. Тогда мгновенное значение колебания, представленного на рис. 3.19, а, можно записать в виде

а(0 = ЛоС05 f со(0гЛоС05 ЮоИ-- , - 7/2 < i < Г,/2. (3.37)

Произведение полной девиации частоты на длительность импульса

2/дГе = т (3.38)

является основным параметром ЛЧМ сигнала. Напомним, что в § 2.15 аналогичный параметр jV = 2/был назван базой сигнала. Поскольку /д определяет ширину спектра рассматриваемого сигнала, параметр m можно трактовать как базу ЛЧМ сигнала.

С учетом (3.38) выражение (3.36) можно записать в форме

(5 = 2лт/Г. (3.39)

При этом сигнал а (t) определяется при Р > О выражением

а (t) = Ад cos соо /

(3.40)

Рис. 3.19. ЛЧМ импульс (а) и изменение частоты его заполнения (б)