Главная  Цепи и сигналы 

[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [ 39 ] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169]

екая индекс k, получаем окончательное выражение для средней мощности случайного процесса

, 1X7.(0)) 12

ir,(co)=.lim>-I. (4.34)

Если рассматривается случайный процесс с ненулевым средним значением X (i), то спектральную плотность следует представить в форме

(со) = (л: {t)f-2nd (ы) + (о)), (4.35)

где (м) - сплошная часть спектра, соответствующая флуктуационной составляющей х, а б (w) - дельта-функция.

При интегрировании по / = о)/2л первое слагаемое в правой части дает

(л: (t)Y, т. е. мощность постоянной составляющей, а второе - мощность флуктуационной составляющей, т. е. дисперсию

Г (со) dco=a?. --- (4.36)

2я J

- 00

Для процесса с нулевым средним

оо оо

-Дх- J «-И= f WAndf, (4.37)

- 00 - 00

Из определения спектральной плотности (4.33) очевидно, что W («») является четной и неотрицательной функцией м.

4.4. СООТНОШЕНИЕ МЕЖДУ СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТЬЮ И КОВАРИАЦИОННОЙ ФУНКЦИЕЙ СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА

С одной стороны, скорость изменения х (t) во времени определяет ширину спектра. С другой стороны, скорость изменения х (t) определяет ход ковариационной функции. Очевидно, что между Wx (ш) и Кх (т) имеется тесная связь.

Теорема Винера - Хинчина утверждает, что Кх{х) и (ш) связаны между собой преобразованиями Фурье:

WxM= j K(T)e--dT, (4.38)

- 00

/С«(т) = j U7,(co)e-dw. (4.39)

- 00



Рис. 4.9. Широкополосный и узкополосный спектры случайного процесса (примеры 1, 2, 3); границы центральной полосы ±f 1



Для случайных процессов с нулевым средним аналогичные выражения имеют вид

Uw)e»dco.

(4.38) (4.39)

Из этих выражений вытекает свойство, аналогичное свойствам преобразований Фурье, установленным в гл. 2 для детерминированных сигналов: чем шире спектр случайного процесса, тем меньше интервал корреляции, и соответственно чем больше интервал корреляции, тем уже спектр процесса.

Большой интерес представляет белый шум, когда спектр равномерен на всех частотах -оо < со <: оо.

Если в выражение (4.39) подставить W (со) = W(, = const, то получим [см. (2.93)1

(4.40)

где б (т) - дельта-функция.

Для белого шума с бесконечным и равномерным спектром корреляционная функция равна нулю для всех значений т, кроме т = О, при котором Rx (0) обращается в бесконечность. Подобный шум, имеющий игольчатую структуру с бесконечно тонкими случайными выбросами, иногда называют дельта-коррелированным процессом. Дисперсия белого шума бесконечно велика.

Поясним применение приведенных выше соотношений на примерах.

1. Пусть заданы следующие параметры напряжения шума (гауссовский стационарный процесс с нулевым средним): среднеквадратическое значение «ек = 2 В и энергетический спектр W\ (2л/), равномерный в полосе частот от -Д до Д (сплошная линия на рис. 4.9), при Д = 10 МГц.

Шум с подобным спектром обычно называют широкополосным. В данном случае

Wi (2л/) = Uc\/2/i = (2)2-10 = 2-10- ВГц.

Корреляционная функция рассматриваемого процесса [см. (4.39)]

/?,(т)= I iHe"rf«= J lti(co)coscoTdco =

sin coi T

-to, sin T

CO, T

(4.41) 121



Дисперсия шума

Dl = «c\-=l(0)-4B

Нормированная корреляционная функция (рис. 4.10, а)

rj(T) = /?i(T)/0f --sincoiT/coiT. (4.42)

2. Вырежем из спектра исходного шума полосу от / = -F- до / = F, обозначенную на рис. 4.9 штриховкой, и найдем (т). г (т) и D<, соответствующие этому ограниченному по полосе шуму.

При = 2 МГц

D-2Fi ri(co)=2.2.10«.2.10-=0,852,

sin Qi X

sin Q, T

/?.,(t) = 2.10--2/-\-=0,6 2 (t) =.?2 (t)/o1 = (sin Qi x)/Qi T.

Сужение спектра привело к растяжению графика (т) по оси т (рис. 4.10, а). Интервал корреляции увеличился в fi/Fi = 5 раз.

3. Найдем аналогичные характеристики для шума, спектр которого обозначен на рис. 4.9 двойной штриховкой. От предыдущего этот случай отличается положением спектральной полосы на оси частот. Шум с подобным спектром называют узкополосным (при fii/coo С !)•

Дисперсия этого шума D, очевидно, не отличается от D-

Корреляционная функция

J -(и„-й,/2) I 0)<,--П./2

fflo-l-Qi/2

-(ffl„-bR,/2)

- ~ J 1 i) COS СОТ d(i>

= 2-10-

sin((oo+Q;/2)T sin (top -Qi/2) т

= 2• 10- -.2 Sin -ib L cos MoT = 2.10- 2Fi " cos сооТ. (4.43)

Ю / 1

1 A*v \

/ OA

-Г \

.. ., ,?s, V / \ I-1

1 \

1 -tr.


-3 "-T-


Рис. 4.10. Нормированная корреляционная функция случа!!-ного процесса со спектром, равномерным в полосе: а) й) < ю, и -< Qr, б) и«- -й,/2 < 1м М«-Ю,/2



[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [ 39 ] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169]

0.0012