Нормированная корреляционная функция (рис 4.10, б)

U(t)

-з(т)-

sin (Qi т/2) ЙТ/2

cos COjT.

(4.44)

Огибающая функции Гд (т) (штрихо- ff вая линия) по фюрме подобна огибающей функции Га (т), однако эта функция имеет вдвое большую протяженность. Высокочастотное заполнение функции Гд (т) имеет частоту Шо, равную центральной частоте спектра шума (см. рис. 4.9).

График нормированной корреляционной функции, показанный на рис. 4.10, б, позволяет составить представление о характере шумового колебания с узкополосным спектром. Осцилляции корреляционной функции с частотой СОо указывают на то, что и мгновенное значение шумового колебания изменяется в среднем с частотой сод. Напомним, что корреляционная функция гармонического колебания является также гармонической функцией той же частоты (см. § 2.18). Изменение же огибающей корреляционной

Рис. 4.11. Примерный вид реализации случайного процесса, корреляционная функция которого показана на рис. 4.10,6 (масштабы по осям и т разные)

функции по закону

sinfiiT/2

указывает на то, что огибающая шумового

QiT/2

колебания, являющаяся случайной величиной, изменяется во времени относительно медленно, подобно функции времени, спектр которой ограничен наивысшей частотой Q. Примерный вид шумового колебания, соответствующего корреляционной функции (4.44), представлен на рис. 4.11 (в измененном масштабе времени).

Итак, шумовое колебание с узкополосным спектром следует представлять высокочастотным колебанием с медленно (по сравнению с частотой сОд) изменяющимися амплитудой и фазой:

x{i) = и (/) cos [соо + е (01,

(4.45)

где СОо - центральная частота спектра шума.

Следует подчеркнуть, что все параметры этого колебания: амплитуда, фаза и частота - являются случайными функциями времени. Статистические характеристики этих параметров рассматриваются в § 4.6.

4.5. ВЗАИМНАЯ КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ФУНКЦИЯ И ВЗАИМНАЯ СПЕКТРАЛЬНАЯ ПЛОТНОСТЬ ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

В данном naparpacjDe рассматриваются стационарные процессы с нулевым средним, поэтому связь между процессами х (t) и у (t) оценивается с помощью взаимной корреляционной функции, определяемой выражениями

Rxy {x)M[x{t)y{t+x)], R, (х) =M\y{t)x{t + x)].

(4.46)

Подразумевается, что не только сами процессы х (t) и у (t), но и связи между ними стационарны.

Кроме того, имеются в виду эргодическпе процессы, поэтому вместо (4.46) можно применять временное усреднение:

Rxy{t)-x{t)y{t + T) = lim Y J xit)y{t + T)dt, (4.47)

-т/2 Т/2

RyA-)=y{t)x{t + x)Mm Y- \ y{t)x{ix)dt. (4.48)

Как и для детерминированных колебаний, взаимная корреляционная функция не изменяется, если сдвиг на т одной из функций х (t) или у (t) заменить сдвигом в обратном направлении другой функции. Поэтому можно написать следующие равенства:

(т) =x{t)yit + x)=xit-x)y (О, (4.49)

Ryx (т) ==JWW-) = y{t-x)x{t). (4.50)

Из последних выражений вытекают следующие соотношения между Rxy (т) и Ryx (т). аналогичные выражениям (2.135) и (2.135):

Rxy{r)-=RyA~-)> Ryxi-)=Rxy{-r). (4.51)

Соотношения (4.49)-(4.51) не следует смешивать с условиями четности функций. Каждая из функций Ry (т) и Ryx (х) не обязательно четна относительно X (см. §2.18).

В итоге корреляция между значениями функций х (t) н у (t) в два различных момента времени, разделенных интервалом т, задается корреляционной матрицей

Rxxi) Rxyi-y

Rix) =

Ryxi-) Ryyi-).

(4.52)

где Rxx {x) a Ryy (x) - корреляционные функции соответственно процессов X (t) н у (t).

Пусть, например, рассматривается сумма двух эргодических процессов X (t) и у (О с нулевыми средними (х = у = 0) н требуется определить корреляционную функцию случайного процесса s (t) ~ х (t) + У (О (при условии, что взаимные корреляционные функции стационарны).

Используя формулу (4.16) и учитывая равенства (4.47), (4.48), Ьолучаем

R, (т) -S (?) S (t + т) = \х (?) + У (?)] [х (? + т) -f (? + т)1 =

= x{t)x{t + x)+x{t)у {t+x) +y{t)x (t + x) + у {t)y{t + x) -

= Rxx (t:) + Rxy (t) + Ryx (x) + Ryy (t). (4.53)

При t=0 RxxiO)=ol и Ryy{0)al, a Rxy{0) Ryx{0).

Следовательно,

= R. (0) =D, + D„ + Rxy (0) + Ryx (0) = £), -f + 2Rxy (0). (4.53)

Если процессы x (?) и у (t) статистически независимы, то дисперсия (средняя мощность) суммы будет = Dx + Dy.

В противном случае в зависимости от знака Rxy (0) мощность процесса S (?) может быть больше или меньше суммы дисперсий ЬхиОу.

Для разности s (?) = л: (?) - у (?) получается выражение, аналогичное (4.53). Необходимо лишь знак плюс перед членом 2;?.. заменить минусом.

При независимости процессов х (t) и у (t) дисперсия процесса s (t), как и при суммировании, будет

D, = Dx + D,. (4.54)

Применим теперь к (т) соотношение Винера -Хинчина (4.38):

W, (со) = I R. (т) е-« dx (со) + \Г, (со) + (со) + Wy, (со). (4.55) В этом выражении

во »

(СО) = I Rxy (т) е- dx, («) = $• i?,, (т) е-» (4.56)

-оо --00

имеют смысл взаимных спектральных плотностей случайных процессов х (t) и у (t).

В отличие от спектральных плотностей {(л) или Wy (со), которые являются действительными функциями со и не могут принимать отрицательные значения, взаимные спектральные плотности Wxy (со) и Wyx (со) могут быть комплексными функциями. Это связано с тем, что функции Rxy (т) и Ryx (х:) обязательно четные относительно т. Подстановка в (4.56) соотношения (4.51) приводит к равенству

WxyHWUia), (4.57)

откуда следует, что

Wxy (со) + Wyx (со) = 2Re [Г., (со)] = 2Re [Wyx (со)]. (4.58)

Таким образом, выражение (4.55) можно записать в (}юрме

Ws (со) = Wx (со) + Wy (со) -f 2Re [Wxy Щ]. (4.59)

Это выражение поясняет физический смысл взаимной спектральной плотности Wxy (со). Если случайные процессы х (t)Hy (t) статистически независимы, то Wxy (со) = о и спектр суммы s (t) = х (t) -j- у (t) равен сумме спектров Wx (со) и Wy (со) и, следовательно, мощность процесса s (t) равна сумме мощностей процессов х (t) и у (t).

Если действительная часть взаимной спектральной плотности положительна, то Ws (w) > Wx (со) + Wy (со) и, следовательно, корреляция между процессами приводит к возрастанию средней мощности суммарного процесса (of > al + al). Очевидно, что при отрицательной действительной части Wxy (со) средняя мощность суммарного процесса меньше, чемОх + Dy.

Если - D x Л- Dy, то процессы х (t) и у (t) являются независимыми, аддитивными (см. §2.18).

В практике часто встречается случай суммирования процесса х (t) с процессом Кх (t- Т), т. е. с тем же процессом, задержанным на время Т и усиленным в К раз (рис. 4.12).

Составим матрицу (4.52) для процессов х {t) к у - Кх (t- Т). В обозначениях (4.52) получаем

.xW = x():

Rxy (т) =7(07(ГИ) == Kx{t)x{t~T-\-) -KRx (т-Т), Ryx(т) =FWW+) -Kx{t~T)x{t + x) = KRx(r + T), Ryy (t) = Ry (T) =y{t)y{t + x) Kx{t-T)xit-T + c) = KRx (т-