Главная  Цепи и сигналы 

[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [ 41 ] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169]


Рис. 4.12. К определению корреляционной функции суммы двух случайных процессов с одинаковыми энергетическими спектрами

/<x(t-T)

Таким образом, корреляционная матрица процессов х (t) и у (t) = =.Кх (t- Т) принимает вид

.W KRxb-T)

,KRxb + T) KRA)

Найдем теперь корреляционную функцию процесса s (t) = х (t) + у (t) на выходе сумматора (рис. 4.12). Подставив в (4.53) элементы матрицы R (т), получим

Rs (t) = Rx (т) + KRx (т - Г) 4 KRx (т + Т) + KRx (t). Приравнивая т = О, находим дисперсию процесса

Dx + KRx (- Г) + KRx (Т) + KDx (\-\-К) Dx + 2KRx (Т) =Dxl\+K + 2Krx{T)l

где гX (Т) = Rx (T)/DX - нормированная корреляционная функция процесса X (t) (напомним, что в данном примере М [х {t)\ = 0).

При замене сумматора вычитающим устройством знак плюс перед слагаемым 2КГх (Г) должен быть заменен минусом.

Если задержка Т значительно больше интервала корреляции процесса X (О, что (Г) О и == (1 + К).

4.6. УЗКОПОЛОСНЫЙ СЛУЧАЙНЫЙ ПРОЦЕСС

Краткое описание свойств гауссовского шума, сформированного из белого шума вырезанием относительно узкой полосы частот, было дано в § 4.4. Там отмечалось, что каждая из реализаций подобного случайного процесса имеет вид почти гармонического колебания

X (О = Л it) cos {щ1 + е (01 = А it) cos (t), (4.60)

все параметры, которого - огибающая А (t),- фаза О (t) и частота ш (t) - являются случайными медленно меняющимися функциями времени.

При представлении шума в форме (4.60) предполагается, что огибающая А (t) отвечает соотношению

A{t)V xt)+yt) , (4.61)

где г/(?) -функция, сопряженная по Гильберту исходной функции х (t), а СОо выбрана тким образом, что фаза О (t) не содержит слагаемого, линейно-зависящего от t.

В этом смысле нет различия между случайным и детерминированным процессами (см. § 3.9). Дополнительно этот вопрос рассматривается в § 4.7.

Дальнейшее рассмотрение основано на допущении, что спектральная плотность шума х (t) сконцентрирована в узкой по сравнению с величиной Wo полосе, причем функция Wx (и) в указанной полосе симметрична относительно точки СОо (рис. 4.13, а).

Рассмотрим стационарный эргодический процесс с нормальным законом распределения вероятностей. Здесь необходимо подчеркнуть, что указанное распределение характеризует физическое колебание х (t), т. е. мгновенное значение колебания (в любой момент времени t). Параметры же колебания:



А (t), О (О и со (t) = d\p/dt~ обладают законами распределения, существенно отличающимися от нopмaльнoгo. Для полного описания свойств узкополосного процесса требуется знание законов распределения, а также корреляционных функций всех параметров колебания.

1. ОГИБАЮЩАЯ

Представим высокочастотное колебание х (t), определяемое выражением (4.60), в виде двух квадратурных колебаний:

1д (t) cos COj -

(4.60)

X (t) = А (t) cos e (t) cos coo - A (t) sin 6 (t) sin coo - A (t) sin Wot.

Здесь, как и в § 3.5,

Л„ (t) = А (t) cos е, Л, (О = А (t) sin е

(4.62)

представляют собой амплитуды соответственно косинусной и синусной составляющих колебания х (t), причем

А (t) = VAl (t) + Al (t) , Q{t) arctg А,/А.

(4.6.3)

Для отыскания плотностей вероятности рл (А) и рв (В) требуется знание соответствующих плотностей р (А) и р{А), а также совместной плотности вероятности р (А, А).

Плотности р (Лр) и р (Ag) можно определить, сопоставив случайную функцию (t) [или А\ (t)] с функцией х (t):

x(t) = А (t) cos [соо + В (t)], Л, (О = А (О cos В (t).

Отличие Лр (t) от х (t) заключается в исключении слагаемого coq из аргумента косинуса. Как и для детерминированного колебания, это означает сдвиг спектра каждой из реализаций случайного процесса на величину СОо (в направлении к нулевой частоте при сохранении структуры спектра). При этом сохраняется и закон распределения случайной функции х (t). Поэтому, если процесс х (t) гауссовский, то и процесс Л (t) гауссовский (оба процесса с нулевым средним).

Спектр Wj/[ (Q) (рис. 4. 3, б) случайной функции Л (t) можно получить из спектра функции х (t) сдвигом на соо левого лепестка и на -соо правого лепестка спектра (со) (рис. 4.13).

В результате получается спектр

WaJQ)-2WA<o + ), (4.64)

Рис. 4.13. Спектры;

я) узкополосного процесса с центральной частотой СОо; б) косинусной составляющей комплексной огибающей


Это вытекает из нелинейной зависимости параметров А, Q н (о от х и у.



группирующийся вблизи нулевой частоты. Коэффициент 2 учитывает сложение мощностей, приходящихся на оба лепестка Wx (w).

Аналогичные рассуждения используем для случайного процесса (t) и его спектра

Wa iQ)=2Wxi(o + Q).

Из этого выражения и рис. 4.13 вытекает, что площадь под кривой Wx (м) (в двух лепестках) совпадает с площадью под кривой Wj\ (Q) [или Следовательно, дисперсии случайных функций А (t), А (t) и x{t) одинаковы: а = 0= (у1-

При учете первого выражения (4.63), из которого вытекает равенство А (t) = А (t) + Л (?), приходим к следующему выражению для среднего квадрата огибающей (из-за некоррелированности квадратур):

< = ЛМО"- Da + Da = 2D, = 2al (4.65)

Итак, одномерные плотности вероятности случайных функций А (?) и А (?) можно определить выражениями

/t?(c)=-=гг-ехр -

VJT Ох \ 2а.

PiAs) = -xp(--(4.66)

У 2л Ох \ 2а1 J

Кроме того, взаимная корреляция между функциями А (?) и А (?) равна нулю при т = 0. Действительно, возводя выражение (4.60) в квадрат и усредняя по множеству, получаем

М [л: (?)[ = М [А (?) cos СОо ? - it) sin соо tf = М [Л? (?)] cos ? + М [Л (?)[ sirf шо? - 2М [Ле (?) Л, (?)] sin сод ? cos Wo .

Но левая часть этого выражения равна Rx(0) = Dx, кроме того, М [А1 (?)[ - М [Л (?)] = - (0), а М [Л, (?) Л (?)[ = R (0) является взаимной корреляционной функцией случайных процессов Л (?) и Лд (?) при т = 0. Следовательно, предыдущее равенство приводится к виду

Rx (0) = Ra (0)-Raa (0) sin 2мо t - aJ- /? (0) sin 2co„ ?, (4.67)

из которого вытекает, что RaA [поскольку процессы л; (?) и Л (?) стационарны, равенство (4.67) должно выполняться в любой момент времени].

Итак, Лд (?) и Лд (?), отсчитываемые в один и тот же момент времени, - статистически независимые величины. Поэтому совместную плотность вероятности р (Лр, Ag) можно определить выражением

-AiAl

Р (Лс, А,) - р (Ле) р (Л,) =-- ехр

2ла1

ехр(--(4.68)

2ло1 "l 2с1

В случае детерминированного AM колебания (рис. 3.9) при переходе от спектра Sa (со) к спектру (со) удваивается спектральная плотность напряжения (или тока), что приводит к учетвереиию спектральной плотности энергии, пропорциональной SJi (со). В данном случае мощность случайного процесса всего лишь удваивается из-за некогерентного суммирования спектров от обоих лепестков Wx (со).

Это положение вытекает также из соотношения (4.65), показывающего, что средний квадрат огибаюшей А (?), т. е. Dа, является аддитивной суммой средних квадратов функций Ас (?) и Лу (/).



[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [ 41 ] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169]

0.0018